七年级数学上册专题4.1 平面图形中的计数问题（强化）（解析版）

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专题4.1 平面图形中的计数问题 【例题精讲】如图，以为一个端点的线段共有　　A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：以为端点的线段有、、，共三条，故选：．济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票　　A．20种 B．42种 C．10种 D．84种【解答】解：如图，图中有5个站点．经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有（种．保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为（种．故选：．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有　　A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【解答】解：10条直线两两相交，最多有．故选：．如图所示，从一点出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果时，检验你所得的结论是否正确．【解答】解：当时，角的个数为1；当时，角的个数为；当时，角的个数为；当时，角的个数为；当射线的条数为时，角的个数为，当时，．所以条射线可组成个角，这个结论也是正确的．【题组训练】1．阅读：在直线上有个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：问题：（1）把表格补充完整；（2）根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要安排多少种不同的车票？【解答】解：（1）；（2）①把每一个班级看作一个点，则（场；②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为（条，因为车票有起点和终点站之分，所以车票要（种．2．观察图①，由点和点可确定　1　条直线；观察图②，由不在同一直线上的三点、和最多能确定　　条直线；（1）动手画一画图③中经过、、、四点的所有直线，最多共可作　　条直线；（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定　　条直线、个点最多能确定　　条直线．【解答】解：①由点和点可确定1条直线；②由不在同一直线上的三点、和最多能确定3条直线；经过、、、四点最多能确定6条直线；直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出个点时最多能确定：条直线．故答案为：1；3，6，10，．3．在一条直线上取两上点、，共得几条线段在一条直线上取三个点、、，共得几条线段在一条直线上取、、、四个点时，共得多少条线段在一条直线上取个点时，共可得多少条线段？【解答】解：2个点时1条线段，3个点时有条线段；4个点时有条线段；个点时有条线段．4．平面内有三点、、，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：（1）若平面内有四个点、、、，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画图说明；（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（3）若平面内有个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结果）【解答】解：（1）（2）最多可画：（条；（3）最多可画：（条．5．根据题意填空：（1）（2）每小问1分，（3）每小问2分，共6分）（1）与是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线，那么这三条直线最多有　3　个交点．（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线，那么这四条直线最多可有　　个交点．（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有　　个交点，条直线最多可有　　条交点．（用含有的代数式表示）【解答】解：（1）；（2）；（3）；．6．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：（2）在直线上取个点，可以得到几条射线？（3）用这种方法可以得到15条线段吗？如果可以，请指出取几个点；不能，请说明理由．【解答】解：（1）（2）可以得条；（3）能，取6个点．时，，所以取6个点．7．画出线段．（1）如图（1）所示，在线段上画出1个点，这时图中共有几条线段？（2）如图（2）所示，在线段上画出2个点，这时图中共有几条线段？（3）如图（3）所示，在线段上画出3个点，这时图中共有几条线段？（4）当在线段上画出个点时，则共有几条线段？【解答】解：（1）三条线段（2）六条线段（3）十条线段（4）或条线段．8．【观察思考】如图线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有 　6　条．【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 　　条线段．【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？【解答】解：【观察思考】以点为左端点向右的线段有：线段、、，以点为左端点向右的线段有线段、，以点为左端点的线段有线段，共有（条．故答案为：6；【模型构建】设线段上有个点，该线段上共有线段条，则，倒序排列有，，．故答案为：；【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当时，．答：一共要进行28场比赛．9．观察图形，并回答下列问题：（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；（2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【解答】解：（1）以为端点的线段有、、、四条；以为端点的且与前面不重复的线段有、、三条；以为端点的且与前面不重复的线段有、两条；以为端点的且与前面不重复的线段有一条．或直接利用公式，则（条．答：图中共有10条线段；（2）由上面结论可知（次．答：共握了105次；（3）（张．答：共送了210张．11．（1）在内部画1条射线，则图1中有　3　个不同的角；（2）在内部画2条射线，，则图2中有　　个不同的角；（3）在内部画3条射线，，，则图3中有　　个不同的角；（4）在内部画10条射线，，，则图中有　　个不同的角；（5）在内部画条射线，，，则图中有　　个不同的角．【解答】解：（1）在内部画1条射线，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在内部画2条射线，，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在内部画3条射线，，，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在内部画10条射线，，，，则图中有个不同的角，故答案为：66．（5）在内部画条射线，，，，则图中有个不同的角．故答案为：．12．过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部引条射线，共形成多少个角？【解答】解：在的内部引1条射线，即3条射线能组成个角；引2条射线即4条射线能组成个角；引3条射线即5条射线能组成个角；引条射线即条射线能组成个角．13．（1）数一数图①中共有　3　个角，图②中共有　 　个角；图③中共有　 　个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？【解答】解：（1）图①中共有3个角，图②中共有6个角，图③中共有10个角．故答案为：3，6，10；（2），，，第个图形共有：．14．（1）如图①，过角的顶点在角的内部作一条射线，那么图中一共有多少个角？（2）如图②，过角的顶点在角的内部作两条射线，那么图中一共有多少个角？（3）如图③，过角的顶点在角的内部作条射线，那么图中一共有多少个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有个角；（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有个角；（3）在角的内部作条射线，共有条射线，那么图中一共有个角．15．如图，在的内部：（1）画1条射线，则图中共有几个角？把它表示出来．（2）画2条射线，，则图中共有几个角？画3条呢？（3）画行条射线，，，，图中共有几个角？【解答】解：（1）有3个角，分别为，，；（2）如图，画2条射线有6个角，分别为，，，，，，共有：个，画3条射线，共有：个；（3）画条射线，共有：个角．16．已知如图，是锐角，以为端点向内部作一条射线，则图中有多少个角？若作二条、三条射线有多少个角？条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？【解答】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有10个角；即内部有一条射线时，有个角；内部有二条射线时，有个角；内部有三条射线时，有个角；内部有条射线时，有个角；17．观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有条射线，此时共有多少个角？【解答】解：由分析知：（1）①图中有2条射线，则角的个数为：（个；（2）②图中有3条射线，则角的个数为：（个；（3）③图中有4条射线，则角的个数为：（个；（4）由前三问类推，角内有条射线时，图中共有条射线，则角的个数为个．18．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图所示，如果过角的顶点：（1）在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？（2）在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？（3）在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？（4）在角的内部作条射线，那么图中一共有几个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有个角；（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有个角；（3）在角的内部作三条射线，共有5条射线，那么图中一共有个角；（4）在角的内部作条射线，共有条射线，那么图中一共有个角．19．如图，在的内部引一条射线，能组成多少个角？引两条射线能组成多少个角？引三条射线呢？引五条射线呢？引条射线呢？【解答】解：在的内部引一条射线，即3条射线能组成个角；引两条射线即4条射线能组成个角；引三条射线即5条射线能组成个角；引五条射线即7条射线组成个角；引条射线即条射线能组成个角．20．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：（2）在直线上取个点，可以得到几条线段，几条射线？【解答】解：（1）表格如下：（2）可以得到条线段，条射线．21．（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少次？”这个问题吗？请解决．（3）若改为“十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？”【解答】解：（1）以为端点的线段有、、、四条；以为端点的且与前面不重复的线段有、、三条；以为端点的且与前面不重复的线段有、两条；以为端点的且与前面不重复的线段有一条．或直接利用公式则条．答：图中共有10条线段；（2）由上面结论可知（次．答：共握了105次；（3）（张．答：共送了210张．22．众所周知，过两点确定一条直线，过三点中的任意两点最多能画三条直线．（1）过四点、五点中的任意两点最多能画几条直线，请画出相应的图形；（2）过点中的任意两点最多能画几条直线，请说明理由；（3）小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色颜料可供使用．【解答】解：（1）过四点，最多可以画6条；过五点最多可以画10条；（2）设平面上点有个，过其中的每两点画直线，最多可以画条直线；（3）由题意得，（种；23．如图，过两点可画出条直线，过不共线的三点最多可以作出条直线，过无三点共线的四个点最多可作出条直线，，依此类推，经过平面上的个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？试说明道理．【解答】解：．理由：对于个点，因为任意三点不在一条直线上，所以以一点来看，它与其它所有点存在条直线，由于这样的点有个，所以共有条，又这样每条直线重复一次，所以共有． 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系  2 1   3 3   4 6          图形 直线上点的个数 共有线段的条数 两者关系  2 1   3 3   4 6         点的个数所得线段的条数所得射线的条数1234点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468点的个数所得线段的条数所得射线的条数1　0　　 　2　 　　 　3　 　　 　4　 　　 　点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468