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七年级数学（人教版）上册同步试卷 专题4.1 几何图形
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这是一份七年级数学（人教版）上册同步试卷 专题4.1 几何图形，文件包含专题41几何图形教师版人教版docx、专题41几何图形学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共143页， 欢迎下载使用。
专题4.1 几何图形
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1.立体图形与平面图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2） 点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
考点精讲
1、生活中的立体图形
考点1：几何体的识别
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图，请在每个几何体右边写出它们的名称：
（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）_______；
（5）_______；（6）_______；（7）_______；（8）_______．
方法或规律点拨
本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥．
巩固练习
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）下列立体图形中属于棱柱的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022·全国·七年级专题练习）在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
A．①②④⑥ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．①②③⑥
3．（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的不锈钢漏斗的形状类似于（ ）
A．圆 B．球 C．圆柱 D．圆锥
4．（2022·全国·七年级专题练习）在下列几何体中，四棱锥是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）图中的蛋糕的形状类似于（ ）
A．圆 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体
6．（2022·河南周口·七年级期末）下列哪个几何体是棱锥( )
A． B．
C． D．
7．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·七年级课时练习）下列几何体中，是圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南永州·七年级期末）体育课上，蒋老师给同学们分发了篮球、足球、乒乓球和羽毛球，这些球类中的“球”不属于球体的是（ ）
A．篮球 B．足球 C．乒乓球 D．羽毛球
10．（2022·广东佛山·七年级期末）对于如图所示几何体的说法正确的是（ ）
A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形
C．几何体有3条侧棱 D．几何体有4个侧面
考点2：几何体的点、棱和面
典例：（2022·宁夏·银川北塔中学七年级期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
方法或规律点拨
本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
巩固练习
1．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．圆柱、圆锥的底面都是圆
B．八棱柱有8条侧棱，10个面
C．由六个同样的正方形所组成的图形一定是正方体的展开图
D．直棱柱的侧面一定是长方形(包括正方形)
2．（2022·全国·七年级专题练习）用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校阶段练习）五棱锥的底面是______形，侧面是______形；圆锥的底面是_________ 形，侧面是________面．
4．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）如图，将一个正方体截去一个角变成一个多面体，这个多面体有___________棱．
5．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图是一个三棱柱，若这个三棱柱的底面是一个周长为的等边三角形，侧面是一个正方形，则这个三棱柱的所有棱的长的和是____．
6．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）一个正n棱柱，它有18条棱，则该棱柱有______个面，______个顶点．
7．（2022·广东·揭阳市实验中学七年级阶段练习）如果一个棱柱一共有11个面，那么它一共有________个顶点、________条棱．
8．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图,它是八棱柱的表面展开图,展开前这个几何体共有_____条棱，_____个顶点，_____个面.
9．（2022·全国·七年级专题练习）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm．
(1)它是几棱柱？它有多少个顶点？多少条棱？
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
10．（2022·广东·七年级单元测试）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
考点3：点、线、面、体的关系
典例：（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是____________，这能说明的事实是_____________（选择正确的一项填入）．
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
方法或规律点拨
本题主要考查几何体，熟练掌握圆柱体的特征及体积公式是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
2．（2022·全国·七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．长方体的截面形状一定是长方形； B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形；
C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线”； D．圆柱的截面一定是长方形．
3．（2022·全国·七年级专题练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
4．（2022·全国·七年级课时练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
6．（2022·山东·聊城市水城慧德学校七年级阶段练习）钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这说明了 _____．
7．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）夜晚时，我们看到的流星划过，用数学知识解释，这属于：___________
形之间的变化关系是正确判断的前提．
8．（2022·陕西·西安高新第三中学七年级阶段练习）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是__________．
2、展开与折叠
考点1：正方体与长方体的展开图
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个食品包装盒的表面展开图．
(1)请写出这个包装盒的形状的名称；
(2)根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
方法或规律点拨
此题考查了几何体的展开图，用到的知识点是长方体的表面积公式和体积公式，解题的关键是找出长方体的长、宽和高．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形中，是长方体的平面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·模拟预测）如图，是一个几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图长方体的展开图，不可能是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图所示的长方体牛奶包装盒的展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为_______cm．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求的值．
8．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图所示是一个多面体的展开图形，每个面（外表面）都标注了字母，请你根据要求回答问题：
(1)这个多面体是什么常见几何体；
(2)如果在前面，在左面，那么哪一面在上面．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图
典例：（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，请把－6，8，10，－10，－8，6这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数互为相反数．（直接在图中填上）
方法或规律点拨
此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）从如图所示的纸板上7个小正方形中选择1个剪去，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，则不同的选法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
3．（2022·全国·七年级单元测试）如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是（ ）
A．了 B．我 C．的 D．国
6．（2022·全国·七年级专题练习）在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则应剪去的小正方形上的字是（ ）
A．美或贵 B．丽或贵 C．欢或您 D．美或丽或迎
8．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法___________．
9．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是 _____．（请填写所有可能的小正方形的编号）
10．（2022·山东济南·七年级期末）“创出一条路，蝶变一座城”，济南市一直努力建设更高水平的全国文明城市，我校也积极开展了文明校园创建活动．为此七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，你有______种添加方式．
11．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个边长为10 cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
(1)这个表面展开图的面积是 cm2；
(2)你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；
(3)将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 条棱．
A．3 B．4 C．5 D．不确定
12．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）综合实践
【问题情景】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的字是______．
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方形纸盒．
①请你在如图3中画出示意图，用实线表示剪切纸，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的高为______，底面积为______；
③当四角剪去的小正方形的边长为时，求纸盒的容积．
考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图
典例：（2022·全国·七年级）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B．
C． D．
方法或规律点拨
此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图的图形是（ ）正方体的展开图．
A． B． C． D．
【点睛】解答此题的关键弄清该正方体展开图折成正方体后，各图案的位置关系．
2．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）如图所示的立方体，如果把它的展开图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河北邯郸·一模）若图1所示的正方体表面展开图是图2，则正方体上面的几何图形是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2022·广东·七年级单元测试）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学七年级期中）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东·湖景中学一模）如图，有一个正方体的纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C． D．
11．（2022·山西·太原市第三实验中学校七年级阶段练习）有一个正大面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是________．
12．（2022·山东·单县湖西学校七年级期中）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）
考点4：由展开图计算几何体相关数据
典例：（2022·辽宁·灯塔市实验中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
方法或规律点拨
本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）如图所示是小芳要用硬纸片做成的一个文具盒的展开图，则这个文具盒的表面积等于________．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的积是_______．
3．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm．
(1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(2)若1平方厘米硬纸板价格为0.5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？不考虑边角损耗
4．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）一张长宽的长方形纸片，围成一个圆柱，用石膏铸成模具，求这个模具的表面积．
5．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图，是一个几何体的表面展开图．
(1)该几何体是______．
(2)依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题．
(1)请用含a和的式子表示这个小纸盒的展开图的面积；
(2)当a=6厘米时，小纸盒面积为72平方厘米，求x的值；
(3)在（2）的条件下，将10个小纸盒包装成一个长方体，这个长方体的表面积的最小值为 cm2．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
(1)做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）
(2)做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一张铁片．（单位：米）
(1)计算这张铁片的面积；
(2)这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能请说明理由．
9．（2022·全国·七年级专题练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：
包装盒的展开图：如图①是一个同学们熟悉的包装盒如图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的的网格中．
(1)在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是（ ）
A.字母B；B．字母A；C．字母R；D．字母T
(2)若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
11．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
12．（2022·广东·七年级单元测试）顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
13．（2022·江苏常州·七年级期末）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．
(1)这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）．
(2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纸盒容积
72
①请通过表格中的数据计算：_____，______；
②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______．
(3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）：
②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值．
14．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图是一个无盖长方体的展开图．
(1)若①②④⑤四个面上分别标有x、－2、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，则___________；
(2)若将展开图折叠成长方体，请根据图中所给数据分别求出该无盖长方体的容积和表面积．
考点5：一般几何体的侧面展开图
典例：（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：____________、____________．
方法或规律点拨
本题考查立体图形的表面展开图，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·胶州市瑞华实验初级中学七年级阶段练习）下列图形沿虚线经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·汝州市有道实验学校七年级阶段练习）如图为几何体的平面展开图，则从左到右其对应的几何体名称分别为（ ）
A．正方体，三棱锥，圆锥，圆柱 B．正方体，四棱锥，圆锥，圆柱
C．正方体，四棱柱，圆锥，圆柱 D．正方体，三棱柱，圆锥，圆柱
4．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
7．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黑龙江大庆·期中）如图，个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东·七年级单元测试）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
11．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图是一个立体图形的平面展开图，这个立体图形是___________．
3、截一个几何体
考点1：截几何体判断截面
典例： （2022·全国·七年级课时练习）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）
方法或规律点拨
本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．
巩固练习
1．（2022·四川·成都市第四十三中学校七年级阶段练习）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁铁岭·七年级阶段练习）一个长方体的截面不可能是（ ）
A．三角形 B．梯形 C．五边形 D．七边形
3．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，用个平面去截一个长方体，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．梯形 C．长方形 D．圆
4．（2022·福建省尤溪县梅仙中学七年级阶段练习）用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图，用一个水平的平面去截长方体，则截面的形状为选项中的（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·七年级期中）用一个平面去截下列几何体，不能得到圆形截面的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）六棱柱的截面不可能是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
8．（2022·山东威海·期末）用一个平面去截一个三棱柱，不能得到的截面形状是（ ）
A．等边三角形 B．长方形 C．梯形 D．六边形
9．（2022·黑龙江大庆·期中）下列几何体的截面不可能是圆的是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．棱柱 D．圆锥
10．（2022·云南·文山市第三中学七年级阶段练习）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
11．（2022·全国·七年级专题练习）用一个平面截下列几何体，截面可能是圆的是（ ）
①正方体
②球
③圆柱
④五棱柱
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
12．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是（ ）
A．长方体 B．五棱柱 C．圆柱 D．圆锥
13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，一个正方体截去一个角后，截面的形状是_______．
4、从三个方向看几何体
考点1：已知几何体判定三视图
典例：（2022·全国·七年级期中）如图，是由一些棱长为1的相同的小正方体组合成的简单几何体．请分别画出该几何体从正面看和从左面看所得到的图形．
方法或规律点拨
本题考查了画从不同面看立体图形，熟知其的定义和画图的规则是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广东·佛山六中七年级阶段练习）如图所示，该形状的物体从上面看的形状图是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·福建·测试·编辑教研五七年级期中）如图是由若于个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时，所看到的几何图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从上面看是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期末）如图，这是一个机械零部件，箭头指的方向是正面，该零部件的从左面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图是“牟合方盖”的一种模型，从正面看，所看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·七年级专题练习）下面是用八个完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·七年级专题练习）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，从左面看该几何体得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成．
(1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
(2)求这个几何体的表面积为 ．
10．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）由6个完全相同的小正方块搭成的几何体如图所示，请按要求在方格内画出从三个不同方向看到的图形．
11．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）由8个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请画出它从正面、左面、上面观察得到的图形．
12．（2022·全国·七年级课时练习）将棱长为a的小正方体摆成如图所示的形状．
(1)求该物体的表面积；
(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了20层，求该物体的表面积．
考点2：已知俯视图判断其它视图
典例：（2022·全国·七年级课时练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．
方法或规律点拨
本题考查简单几何体的三视图，关键是看到的是几列几层，同时还需注意“长对正，宽相等、高平齐”．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数能表示该几何体从左面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图所示是由几个大小相同的立方块所搭几何体从上面看所看到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出相应的几何体从正面看和从左面看所看到的平面图形．
3．（2022·山东·滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．
4．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
5．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学阶段练习）如图是由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请分别画出从正面和从左面看到的形状图．
6．（2022·陕西·西安一中七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数请在网格中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体从上面看到的图形，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，请在下面的方格纸中分别画出从正面和从左面看到的该几何体的形状图．
8．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．
从正面看 从左面看
(1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
(2)若每个小正方体棱长为，请直接写出该几何体的表面积（包含底面）为______．
10．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量，请画出从正面和从左面看到的图形．
从正面看 从左面看
考点3：已知视图计算几何体相关数据
典例：（2022·全国·七年级）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
方法或规律点拨
此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（ ）.
A． B．20 C． D．9
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．
(1)该几何体名称是 ；
(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
这个长方体的表面积＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．
3．（2022·广东深圳·七年级期末）如图是由5个边长为1的小正方体组成的几何体．
（1）在网格中画出这个几何体从上面和从左面看到的形状；
（2）求这个几何体的表面积．
4．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）如图，在平整的地面上，用个棱长都为的小正方体搭成一个几何体．
（1）请利用图中的网格画出从正面、左面和上面看到的几何体的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）
（2）图中7个小正方体搭成的几何体的表面积（不包括与地面接触的部分）是 ．
5．（2022·山东·青岛市市南区琴岛学校七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数．
（1）在所给的方框中分别画出该几何体从正面、左面看到的形状图；
（2）若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面看到的形状图和原几体从上面看到的形状图相同，最多可拿掉几个立方块？
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图．
（1）请你观察它是由 个立方体小木块组成的；
（2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
8．（2022·山东淄博·九年级期末）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
碟子的个数
碟子的高度（单位：cm）
1
2
2
2+1.5
3
2+3
4
2+4.5
…
…
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
9．（2022·全国·七年级课时练习）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？
（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？
10．（2022·全国·七年级专题练习）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）用一个平面去截四棱柱，截面形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．七边形
2．（2022·河南洛阳·七年级期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）．
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
3．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．立体图形的各个面都是平面；
B．平面图形都能围成立体图形；
C．立体图形都能展开为平面图形；
D．平面图形是立体图形的组成部分；
4．（2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末）如图①，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，若在图②中的①、②、③、④中的某一处画一个“·”，然后去掉其余3处后，则能围成正方体骰子的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2022·山东·济南外国语学校七年级阶段练习）如图，白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体使其各面染料都能印在白纸上，且各面仅能接触白纸一次．则在纸上可以形成的图形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个柱形盒子里，盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的球的体积公式为 ，其中为球的体积，为球的半径（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）若一个直棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为36cm，则每条侧棱长为____________cm．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的图形能围成的立体图形是______．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是_______平方米．
10．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则3x+2y的值为__________．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知五角星的面积为5，正方形的面积为4，图中对应阴影部分的面积分别是S1，S2，则S1-S2的值为_____．
12．（2022·山东省青岛第四十四中学七年级阶段练习）如图是一个长为5cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周，会得到两个几何体，它们的体积分别是___________（结果保留）．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·福建·宁德市博雅培文学校七年级阶段练习）如图，是由9个大小相同的小立方块搭成的一个几何体．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、上面看到的形状图；
（2）在不改变几何体中小立方块个数的前提下，从中移动一个小立方块，使所得新几何体与原几何体相比，从正面、上面看到的形状图保持不变，但从左面看到的形状图改变了．请在指定位置画出一种新几何体从左面看到的形状图．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1
图2
图3
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
15．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了 条棱．
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
(3)小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
专题4.1 几何图形
目标导航
1.立体图形与平面图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2） 点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
考点精讲
1、生活中的立体图形
考点1：几何体的识别
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图，请在每个几何体右边写出它们的名称：
（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）_______；
（5）_______；（6）_______；（7）_______；（8）_______．
方法或规律点拨
本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥．
巩固练习
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）下列立体图形中属于棱柱的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022·全国·七年级专题练习）在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
A．①②④⑥ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．①②③⑥
3．（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的不锈钢漏斗的形状类似于（ ）
A．圆 B．球 C．圆柱 D．圆锥
4．（2022·全国·七年级专题练习）在下列几何体中，四棱锥是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）图中的蛋糕的形状类似于（ ）
A．圆 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体
6．（2022·河南周口·七年级期末）下列哪个几何体是棱锥( )
A． B．
C． D．
7．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·七年级课时练习）下列几何体中，是圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南永州·七年级期末）体育课上，蒋老师给同学们分发了篮球、足球、乒乓球和羽毛球，这些球类中的“球”不属于球体的是（ ）
A．篮球 B．足球 C．乒乓球 D．羽毛球
10．（2022·广东佛山·七年级期末）对于如图所示几何体的说法正确的是（ ）
A．几何体是四棱柱 B．几何体的底面是长方形
C．几何体有3条侧棱 D．几何体有4个侧面
考点2：几何体的点、棱和面
典例：（2022·宁夏·银川北塔中学七年级期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
方法或规律点拨
本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
巩固练习
1．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．圆柱、圆锥的底面都是圆
B．八棱柱有8条侧棱，10个面
C．由六个同样的正方形所组成的图形一定是正方体的展开图
D．直棱柱的侧面一定是长方形(包括正方形)
2．（2022·全国·七年级专题练习）用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校阶段练习）五棱锥的底面是______形，侧面是______形；圆锥的底面是_________ 形，侧面是________面．
4．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）如图，将一个正方体截去一个角变成一个多面体，这个多面体有___________棱．
5．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图是一个三棱柱，若这个三棱柱的底面是一个周长为的等边三角形，侧面是一个正方形，则这个三棱柱的所有棱的长的和是____．
6．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）一个正n棱柱，它有18条棱，则该棱柱有______个面，______个顶点．
7．（2022·广东·揭阳市实验中学七年级阶段练习）如果一个棱柱一共有11个面，那么它一共有________个顶点、________条棱．
8．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图,它是八棱柱的表面展开图,展开前这个几何体共有_____条棱，_____个顶点，_____个面.
9．（2022·全国·七年级专题练习）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm．
(1)它是几棱柱？它有多少个顶点？多少条棱？
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
10．（2022·广东·七年级单元测试）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
考点3：点、线、面、体的关系
典例：（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是____________，这能说明的事实是_____________（选择正确的一项填入）．
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
方法或规律点拨
本题主要考查几何体，熟练掌握圆柱体的特征及体积公式是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
2．（2022·全国·七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．长方体的截面形状一定是长方形； B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形；
C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线”； D．圆柱的截面一定是长方形．
3．（2022·全国·七年级专题练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
4．（2022·全国·七年级课时练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
6．（2022·山东·聊城市水城慧德学校七年级阶段练习）钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这说明了 _____．
7．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）夜晚时，我们看到的流星划过，用数学知识解释，这属于：___________
形之间的变化关系是正确判断的前提．
8．（2022·陕西·西安高新第三中学七年级阶段练习）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是__________．
2、展开与折叠
考点1：正方体与长方体的展开图
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个食品包装盒的表面展开图．
(1)请写出这个包装盒的形状的名称；
(2)根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
方法或规律点拨
此题考查了几何体的展开图，用到的知识点是长方体的表面积公式和体积公式，解题的关键是找出长方体的长、宽和高．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形中，是长方体的平面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·模拟预测）如图，是一个几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图长方体的展开图，不可能是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图所示的长方体牛奶包装盒的展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为_______cm．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求的值．
8．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图所示是一个多面体的展开图形，每个面（外表面）都标注了字母，请你根据要求回答问题：
(1)这个多面体是什么常见几何体；
(2)如果在前面，在左面，那么哪一面在上面．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图
典例：（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，请把－6，8，10，－10，－8，6这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数互为相反数．（直接在图中填上）
方法或规律点拨
此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）从如图所示的纸板上7个小正方形中选择1个剪去，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，则不同的选法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
3．（2022·全国·七年级单元测试）如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是（ ）
A．了 B．我 C．的 D．国
6．（2022·全国·七年级专题练习）在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则应剪去的小正方形上的字是（ ）
A．美或贵 B．丽或贵 C．欢或您 D．美或丽或迎
8．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法___________．
9．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是 _____．（请填写所有可能的小正方形的编号）
10．（2022·山东济南·七年级期末）“创出一条路，蝶变一座城”，济南市一直努力建设更高水平的全国文明城市，我校也积极开展了文明校园创建活动．为此七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，你有______种添加方式．
11．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个边长为10 cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
(1)这个表面展开图的面积是 cm2；
(2)你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；
(3)将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 条棱．
A．3 B．4 C．5 D．不确定
12．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）综合实践
【问题情景】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的字是______．
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方形纸盒．
①请你在如图3中画出示意图，用实线表示剪切纸，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的高为______，底面积为______；
③当四角剪去的小正方形的边长为时，求纸盒的容积．
考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图
典例：（2022·全国·七年级）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B．
C． D．
方法或规律点拨
此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图的图形是（ ）正方体的展开图．
A． B． C． D．
【点睛】解答此题的关键弄清该正方体展开图折成正方体后，各图案的位置关系．
2．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）如图所示的立方体，如果把它的展开图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河北邯郸·一模）若图1所示的正方体表面展开图是图2，则正方体上面的几何图形是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2022·广东·七年级单元测试）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学七年级期中）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东·湖景中学一模）如图，有一个正方体的纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C． D．
11．（2022·山西·太原市第三实验中学校七年级阶段练习）有一个正大面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是________．
12．（2022·山东·单县湖西学校七年级期中）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）
考点4：由展开图计算几何体相关数据
典例：（2022·辽宁·灯塔市实验中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
方法或规律点拨
本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）如图所示是小芳要用硬纸片做成的一个文具盒的展开图，则这个文具盒的表面积等于________．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的积是_______．
3．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm．
(1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(2)若1平方厘米硬纸板价格为0.5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？不考虑边角损耗
4．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）一张长宽的长方形纸片，围成一个圆柱，用石膏铸成模具，求这个模具的表面积．
5．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图，是一个几何体的表面展开图．
(1)该几何体是______．
(2)依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题．
(1)请用含a和的式子表示这个小纸盒的展开图的面积；
(2)当a=6厘米时，小纸盒面积为72平方厘米，求x的值；
(3)在（2）的条件下，将10个小纸盒包装成一个长方体，这个长方体的表面积的最小值为 cm2．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
(1)做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）
(2)做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一张铁片．（单位：米）
(1)计算这张铁片的面积；
(2)这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能请说明理由．
9．（2022·全国·七年级专题练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：
包装盒的展开图：如图①是一个同学们熟悉的包装盒如图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的的网格中．
(1)在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是（ ）
A.字母B；B．字母A；C．字母R；D．字母T
(2)若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
11．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
12．（2022·广东·七年级单元测试）顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
13．（2022·江苏常州·七年级期末）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．
(1)这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）．
(2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纸盒容积
72
①请通过表格中的数据计算：_____，______；
②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______．
(3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）：
②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值．
14．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图是一个无盖长方体的展开图．
(1)若①②④⑤四个面上分别标有x、－2、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，则___________；
(2)若将展开图折叠成长方体，请根据图中所给数据分别求出该无盖长方体的容积和表面积．
考点5：一般几何体的侧面展开图
典例：（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：____________、____________．
方法或规律点拨
本题考查立体图形的表面展开图，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·胶州市瑞华实验初级中学七年级阶段练习）下列图形沿虚线经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·汝州市有道实验学校七年级阶段练习）如图为几何体的平面展开图，则从左到右其对应的几何体名称分别为（ ）
A．正方体，三棱锥，圆锥，圆柱 B．正方体，四棱锥，圆锥，圆柱
C．正方体，四棱柱，圆锥，圆柱 D．正方体，三棱柱，圆锥，圆柱
4．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
7．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黑龙江大庆·期中）如图，个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东·七年级单元测试）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
11．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图是一个立体图形的平面展开图，这个立体图形是___________．
3、截一个几何体
考点1：截几何体判断截面
典例： （2022·全国·七年级课时练习）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）
方法或规律点拨
本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．
巩固练习
1．（2022·四川·成都市第四十三中学校七年级阶段练习）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁铁岭·七年级阶段练习）一个长方体的截面不可能是（ ）
A．三角形 B．梯形 C．五边形 D．七边形
3．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，用个平面去截一个长方体，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．梯形 C．长方形 D．圆
4．（2022·福建省尤溪县梅仙中学七年级阶段练习）用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图，用一个水平的平面去截长方体，则截面的形状为选项中的（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·七年级期中）用一个平面去截下列几何体，不能得到圆形截面的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）六棱柱的截面不可能是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
8．（2022·山东威海·期末）用一个平面去截一个三棱柱，不能得到的截面形状是（ ）
A．等边三角形 B．长方形 C．梯形 D．六边形
9．（2022·黑龙江大庆·期中）下列几何体的截面不可能是圆的是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．棱柱 D．圆锥
10．（2022·云南·文山市第三中学七年级阶段练习）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
11．（2022·全国·七年级专题练习）用一个平面截下列几何体，截面可能是圆的是（ ）
①正方体
②球
③圆柱
④五棱柱
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
12．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是（ ）
A．长方体 B．五棱柱 C．圆柱 D．圆锥
13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，一个正方体截去一个角后，截面的形状是_______．
4、从三个方向看几何体
考点1：已知几何体判定三视图
典例：（2022·全国·七年级期中）如图，是由一些棱长为1的相同的小正方体组合成的简单几何体．请分别画出该几何体从正面看和从左面看所得到的图形．
方法或规律点拨
本题考查了画从不同面看立体图形，熟知其的定义和画图的规则是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广东·佛山六中七年级阶段练习）如图所示，该形状的物体从上面看的形状图是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·福建·测试·编辑教研五七年级期中）如图是由若于个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时，所看到的几何图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从上面看是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期末）如图，这是一个机械零部件，箭头指的方向是正面，该零部件的从左面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图是“牟合方盖”的一种模型，从正面看，所看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·七年级专题练习）下面是用八个完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·七年级专题练习）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，从左面看该几何体得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成．
(1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
(2)求这个几何体的表面积为 ．
10．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）由6个完全相同的小正方块搭成的几何体如图所示，请按要求在方格内画出从三个不同方向看到的图形．
11．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）由8个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请画出它从正面、左面、上面观察得到的图形．
12．（2022·全国·七年级课时练习）将棱长为a的小正方体摆成如图所示的形状．
(1)求该物体的表面积；
(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了20层，求该物体的表面积．
考点2：已知俯视图判断其它视图
典例：（2022·全国·七年级课时练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．
方法或规律点拨
本题考查简单几何体的三视图，关键是看到的是几列几层，同时还需注意“长对正，宽相等、高平齐”．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数能表示该几何体从左面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图所示是由几个大小相同的立方块所搭几何体从上面看所看到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出相应的几何体从正面看和从左面看所看到的平面图形．
3．（2022·山东·滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．
4．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
5．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学阶段练习）如图是由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请分别画出从正面和从左面看到的形状图．
6．（2022·陕西·西安一中七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数请在网格中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体从上面看到的图形，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，请在下面的方格纸中分别画出从正面和从左面看到的该几何体的形状图．
8．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．
从正面看 从左面看
(1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
(2)若每个小正方体棱长为，请直接写出该几何体的表面积（包含底面）为______．
10．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量，请画出从正面和从左面看到的图形．
从正面看 从左面看
考点3：已知视图计算几何体相关数据
典例：（2022·全国·七年级）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
方法或规律点拨
此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（ ）.
A． B．20 C． D．9
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．
(1)该几何体名称是 ；
(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
这个长方体的表面积＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．
3．（2022·广东深圳·七年级期末）如图是由5个边长为1的小正方体组成的几何体．
（1）在网格中画出这个几何体从上面和从左面看到的形状；
（2）求这个几何体的表面积．
4．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）如图，在平整的地面上，用个棱长都为的小正方体搭成一个几何体．
（1）请利用图中的网格画出从正面、左面和上面看到的几何体的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）
（2）图中7个小正方体搭成的几何体的表面积（不包括与地面接触的部分）是 ．
5．（2022·山东·青岛市市南区琴岛学校七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数．
（1）在所给的方框中分别画出该几何体从正面、左面看到的形状图；
（2）若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面看到的形状图和原几体从上面看到的形状图相同，最多可拿掉几个立方块？
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图．
（1）请你观察它是由 个立方体小木块组成的；
（2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
8．（2022·山东淄博·九年级期末）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
碟子的个数
碟子的高度（单位：cm）
1
2
2
2+1.5
3
2+3
4
2+4.5
…
…
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
9．（2022·全国·七年级课时练习）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？
（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？
10．（2022·全国·七年级专题练习）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）用一个平面去截四棱柱，截面形状不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．七边形
2．（2022·河南洛阳·七年级期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）．
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
3．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．立体图形的各个面都是平面；
B．平面图形都能围成立体图形；
C．立体图形都能展开为平面图形；
D．平面图形是立体图形的组成部分；
4．（2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末）如图①，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，若在图②中的①、②、③、④中的某一处画一个“·”，然后去掉其余3处后，则能围成正方体骰子的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2022·山东·济南外国语学校七年级阶段练习）如图，白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体使其各面染料都能印在白纸上，且各面仅能接触白纸一次．则在纸上可以形成的图形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个柱形盒子里，盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的球的体积公式为 ，其中为球的体积，为球的半径（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）若一个直棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为36cm，则每条侧棱长为____________cm．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的图形能围成的立体图形是______．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是_______平方米．
10．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则3x+2y的值为__________．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知五角星的面积为5，正方形的面积为4，图中对应阴影部分的面积分别是S1，S2，则S1-S2的值为_____．
12．（2022·山东省青岛第四十四中学七年级阶段练习）如图是一个长为5cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周，会得到两个几何体，它们的体积分别是___________（结果保留）．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·福建·宁德市博雅培文学校七年级阶段练习）如图，是由9个大小相同的小立方块搭成的一个几何体．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、上面看到的形状图；
（2）在不改变几何体中小立方块个数的前提下，从中移动一个小立方块，使所得新几何体与原几何体相比，从正面、上面看到的形状图保持不变，但从左面看到的形状图改变了．请在指定位置画出一种新几何体从左面看到的形状图．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1
图2
图3
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
15．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了 条棱．
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
(3)小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
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