人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质同步测试题

这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质同步测试题，共23页。
专题12.13 角的角平分线的性质（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：∵DC平分∠ADB ,
又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F，
∴PE=PF

特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F，
又∵PE=PF
∴DC平分∠ADB ,
即点P在∠ADB的平分线上。

要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）作射线OC.
∴射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，
三角形内心到这个三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】
类型一、角的平分线的性质定理及证明
1．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．

【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【点拨】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE交于点I，连接AI并延长交BC于点F．求证：AF平分∠BAC．

【分析】过点I分别向△ABC的边BC、AC、AB作垂线，垂足分别为点G、H、K，然后由角平分线的性质得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再证明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．
解：如图所示，过点I分别作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分别G、H、K，

∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴IG＝IH，IG＝IK，
∴IH＝IK，
在Rt△IHA和Rt△IKA中，
，
∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），
∴∠IAH＝∠IAK，
∴AF平分∠BAC．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【变式2】如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．
（1）求∠BGC的度数．
（2）求证：GD＝GE．

【答案】（1）；（2）见分析
【分析】
（1）利用角平分线的定义，结合三角形内角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，进一步求得∠BGC；
（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM＝180°−60°＝120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE＝GM．
解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G，
∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠ACB＝（∠ABC＋∠ACB）＝60°，
∴∠BGC＝180°−（∠GBC＋∠GCB）＝120°；
（2）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．

∵∠A＝60°，
∴∠ACB＋∠ABC＝120°，
∵CD，BE是角平分线，
∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，
∴∠CGB＝∠EGD＝120°，
∵G是∠ACB平分线上一点，
∴GN＝GF，
同理，GF＝GM，
∴GN＝GM，
∴AG是∠CAB的平分线，
∴∠GAM＝∠GAN＝30°，
∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，
∴∠EGD＝∠NGM＝120°，
∴∠EGN＝∠DGM，
又∵GN＝GM，
在Rt△EGN≌Rt△DGM，
∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），
∴GE＝GD．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
类型二、角的平分线的性质定理
2．如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．

【答案】(1)见分析(2)AE+CD=AC，证明见分析
【分析】
（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
(1)解：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，

∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】（1）如图，在中，按以下步骤作图（保留作图痕迹）：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．
③作射线交于点．则是的______线．
（2）如果，，的面积为18．则的面积为______．

【答案】（1）角平分；（2）27
【分析】
（1）根据尺规作图要求，按给定的步骤与作法画图即可；
（2）根据角分线性质可知，两三角形的AB与BC边上的高相等，则得面积比为底的比，依此列式求解即可．
解：（1）如图所示，BG即为所求；

故答案为：角平分；
（2）如图，作GM⊥AB于M，作GN⊥BC于N，

∵由（1）得BG为∠ABC的角平分线，
∴GM=GN，
∴ ，
解得：．
故答案为：27．
【点拨】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积；掌握尺规作图步骤与要求，根据角平分线性质得出两三角形的高相等，则面积比等于底的比是解题关键．
【变式2】在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．

【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见分析；②BE=CD+DE，理由见分析
【分析】
（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
(1)解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，　

∵AB=AC，
∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，
故答案为：AD⊥CB′；；
(2)解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，　

在△ABG和△ACD中，，
∴△ABG≌△ACD(SAS)，
∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，
∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
类型三、角的平分线的判定定理
3、图，点B，C在的边AM，AN上，点D在内部，连接BD，CD，，作于点E，于点F，，求证：AD是的平分线．

【分析】根据HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC，得DF=DE即可得到结论．
解：∵DF⊥AN，DE⊥AM
∴
∴△DEB，△DFC是直角三角形，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC
∴DE=DF
又DF⊥AN，DE⊥AM
∴AD是的平分线
【点拨】本题主要考查了角平分线的判定，直角三角形全等的判定与性质，证明Rt△DEB≌Rt△DFC是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．
(1)证明：；
(2)求的度数；
(3)连接，求证：平分．

【分析】
（1）由△ABD和△BCE都是等边三角形得BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，所以∠ABE＝∠DBC＝60°−∠DBE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△DBC，得AE＝DC；
（2）由△ABE≌△DBC得∠BAE＝∠BDC，因为∠BAD＝∠BDA＝60°，所以∠HAD＋∠HDA＝＝120°，所以∠AHD＝60°；
（3）作BF⊥HA于点F，BG⊥HC交HC的延长线于点G，则∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，即可证明△BAF≌△BDG，则BF＝BG，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”即可证明HB平分∠AHC．
(1)证明：如图1，

∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°−∠DBE，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC．
(2)解：如图1，由（1）得△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴∠HAD＋∠HAD
＝∠HAD＋∠BDC＋∠BDA
＝∠HAD＋∠BAE＋∠BDA
＝∠BAD＋∠BDA
＝120°，
∴∠AHD＝180°−（∠HAD＋∠HDA）＝60°．
(3)证明：如图2，作BF⊥HA于点F，BG⊥HC交HC的延长线于点G，

则∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，
由△ABE≌△DBC得∠BAF＝∠BDG，
在△BAF和△BDG中，
，
∴△BAF≌△BDG（AAS），
∴BF＝BG，
∴点B在∠AHC的平分线上，
∴HB平分∠AHC．
【点拨】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上等知识，证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】如图，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上．

【分析】由BF⊥AC，CE⊥AB得到∠DEB＝∠DFC＝90°，则可根据“AAS”判断△DBE≌△DCF，则DE＝DF，然后根据角平分线定理得到D点在∠BAC的平分线上．
解：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△DBE和△DCF中，
，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴DE＝DF，
又∵BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，
∴D点在∠BAC的平分线上
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等，也考查了角平分线定理．
类型四、角的平分线的性质的运用
4．如图，已知．
(1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
(2)若的周长为，面积为，求点到的距离．

【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求；
（2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可．
解：(1)如图，点即为所求，

(2)设点到的距离为，
由（1）可知点到、、的距离相等
则

解得：
点到的距离为
【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】有三条交叉公路如图所示，要在三角形区域内建一个加油站，使加油站P到三条公路的距离相等，应建在什么位置？请用尺规作图标出加油站P的位置．

【分析】三角形的内心到三角形的三边距离相等距离相等，而三角形的内心是三个角的角平分线的交点，在实际作图中只需作出两条角平分线的交于一点即可．
解：分别作∠ABC与∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点，
∴P点是△ABC的内心，
∴加油站P应该建在三角形内角平分线的交点处．
如图所示：

①以点B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于点D、E；
②分别以点DE为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于点F．连接BF，则BF即为∠ABC的平分线；
同理作出∠ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点．
【点拨】本题考查三角形内心的性质，以及内心的作法，熟练掌握三角形内心的性质是解决本题的关键．
【变式2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？

【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见分析
【分析】
（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．

【点拨】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．
类型五、尺规作图——角平分线
5．如图，已知，△ABC（AB＜AC）将△ABC沿过点A的直线折叠，使AB边落在线段AC上，直线交BC边于点M，利用尺规作图方法，作出直线AM；（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据折叠的性质，AB边沿直线AM翻折后落在线段AC上，可知∠BAM=∠CAM，作直线AM，即为用尺规作图法作∠BAC的角平分线．先以任意长度为半径，点A为圆心画圆弧，分别交AB，AC于点E、点F，再分别以点E、点F为圆心，大于长度为半径画弧，两圆弧交于点G，连接AG并交BC边于点M，即得到直线AM．
解：如图，直线AM即为所求．

【点拨】本题考查作图－复杂作图、折叠的性质．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
举一反三：
【变式1】已知：线段a和．求作：点O，使点O在的内部，，且O到的两边距离相等．

【分析】先利用尺规作图作出的平分线，再以点C为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求点O．
解：

①作的平分线CD，
②在CD上截取，点O即为所求．
【点拨】本题主要考查作图一复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
【变式2】如图，已知中，.
(1)请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE.（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；

(2)在（1）所作的图形中，求证：.请完成下面的证明过程：
证明：∵AD平分，
∴______，
在与中

∴，
∴______，，AE=AC，
∵______，且，
∴，∴，
∴______，
∵，∴.
【答案】(1)见分析(2)∠DAE，∠AED，∠B，CD
【分析】
（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；
（2）先证明，再结合∠B，且，即可得到结论．
(1)解：如图所示即为所求；

(2)证明：∵AD平分，
∴∠DAE，
在与中，

∴，
∴∠AED，，AE=AC，
∵∠B，且，
∴，
∴，
∴CD，
∵，
∴．
故答案是：∠DAE，∠AED，∠B，CD．
【点拨】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．