专题2.8 角的对称性（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题2.8  角的对称性（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

 要点一、角的平分线的性质

　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
特别说明
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
 

要点二、角的平分线的判定

　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

特别说明
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
 

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图
 

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质

1．如图所示，，是的中点，平分．

（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．

【答案】（1）详见解析；（2）8cm.

 【分析】

（1）过点E分别作于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，根据HL得，即可得出结论；

（2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.

解：

（1）证明：过点E分别作于F，

∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB⊥AB，CB⊥CD．
∵DE平分∠ADC．
∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴BE=EF．
在Rt△AEB和Rt△AEF中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），
∴∠EAB=∠EAF，
∴AE是∠DAB的平分线；

（2）解：∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线，

， ，，

∵∠C=90°

∴  ， ，

.

故答案为（1）详见解析；（2）8cm.

【点拨】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．

【变式1】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．

【答案】2cm

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列方程计算即可得解．

解：∵AD为∠BAC的平分线 DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE＝DF

S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB×DE＋AC×DF

∴S△ABC＝（AB＋AC）×DE

即×（16＋12）×DE＝28

∴ DE＝2（cm）

【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．

 【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等的性质，可得DE=DF．

证明：连接AD

∵AB=AC，点D是BC边上的中点

∴AD平分∠BAC

∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．

∴DE=DF

【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，及角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等．

类型二、角的平分线的判定

4、如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：AB+CD=AC

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）首先根据角平分线的性质得出，然后通过线段中点和等量代换得出，最后根据角平分线的性质定理的逆定理得出结论即可；

（2）首先根据HL证明，得出，同理可得，最后通过等量代换即可得出结论．

证明：（1）如图，过点O作于点E，

OA平分∠BAC，∠ABD=90°，，

．

∵点O为BD的中点，

，

．

∵∠ABD=90°，，

OC平分∠ACD；

（2）在和中，

，

，

同理可得，．

，

．

【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理及逆定理，直角三角形的判定及性质，掌握这些性质及判定是解题的关键．

举一反三：

【变式】 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；

求证：AD平分∠BAC．

 【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC.

【点拨】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.

类型三、角的平分线的作图运用

5．(1)如图，用尺规作图的方法作出的角平分线. (保留作图痕迹，不要求写出作法)

(2)在(1)的基础上证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题.请填空并证明.

已知：如图，__________________，和分别是和的平分线.

求证：______________________________.

证明：

 【分析】

（1）根据角平分线的作图方法解答即可；

（2）作出图形，结合图形写出已知、求证，由全等三角形的性质和角平分线的定义可得∠BAD=∠B'A'D'，根据ASA可得△ABD和△A'B'D'全等，所以角平分线AD、A'D'相等．

解：（1）如图，

（2）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，

求证：AD=A′D′．

证明：∵△ABC≌△A′B′C′，

∴∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，

∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B'A'C'，

∴∠BAD=∠B′A′D′，

在△ABD和△A′B′D′中，

∵∠B=∠B′，

AB=A′B′，

∠BAD=∠B′A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（ASA），

∴AD=A′D′．

【点拨】本题考查了尺规作图，命题的证明，一般步骤是根据题意作出图形，结合图形写出已知、求证、证明，本题所用到的知识是全等三角形性质和全等三角形的判定，熟练掌握本题型的解题步骤和全等三角形性质是解本题的关键．

【变式1】如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．

（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析

【分析】

（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE；

（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．

解：（1）如图：

（2）∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠BDE．

∵∠ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC，∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，∴DE∥AC．

【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．

【变式2】已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）

①在射线BM上作一点C，使AC=AB，连接AC；

②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；

③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．

【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1=∠4，∠3=∠4，即可证明.

试题解析：

（1）如图所示：

（2）BD= DE.

证明：∵BD平分∠ABC ，

∴∠1=∠ABC ，

∵ AB = AC ，

∴∠ABC=∠4，

∴∠1=∠4，

∵CE=CD ，

∴∠2=∠3，

∵∠4=∠2＋∠3，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∴BD= DE .

点拨：（1）掌握尺规作图作角平分线的方法；（2）掌握等腰三角形的性质.