初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程随堂练习题

这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程随堂练习题，文件包含八年级数学上册必考点16分式方程的解法及应用-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版原卷版docx、八年级数学上册必考点16分式方程的解法及应用-题型·技巧培优系列2022-2023学年八年级数学上册精选专题人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。

必考点16 分式方程的解法及应用




●题型一 分式方程的概念
【例题1】（2021秋•怀集县期末）下列是分式方程的是（　　）
A．xx+1+x+43 B．x4+x−52=0
C．34（x﹣2）=43x D．1x+2+1＝0
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．
【解答】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．
【例题2】（2022秋•青龙县期中）方程2x+1=3、1x=3x−1、x2=2、xx−1=2x2−1中分式方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：根据分式方程的定义可知：2x+1=3、1x=3x−1、xx−1=2x2−1是分式方程，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数，这是解答此题的关键．

【解题技巧提炼】
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
●题型二 解分式方程
【例题3】（2022春•双流区月考）解下列分式方程
（1）x−2x+2−1=16x2−4． （2）2x+xx+3=1．
【分析】（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝16，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都都乘x（x+3）得出2（x+3）+x2＝x2+3x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝16，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x＝﹣2是增根，
即原分式方程无解；
（2）方程两边都都乘x（x+3），
得2（x+3）+x2＝x2+3x，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入x（x+3）≠0，
所以x＝6是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝6．
【点评】本题考了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

【例题4】（2021秋•宁南县期末）解方程：
（1）xx2−4+2x+2=1x−2； （2）x3x−1−19x−3=23．
【分析】（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出x+2（x﹣2）＝x+2，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘3（3x﹣1）得出3x﹣1＝2（3x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）xx2−4+2x+2=1x−2，
x(x+2)(x−2)+2x+2=1x−2，
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
x+2（x﹣2）＝x+2，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝3是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝3；
（2）x3x−1−19x−3=23，
x3x−1−13(3x−1)=23，
方程两边都乘3（3x﹣1），得
3x﹣1＝2（3x﹣1），
解得：x=13，
检验：当x=13时，3（3x﹣1）＝0，
所以x=13是增根，
即原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

【解题技巧提炼】
1.分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
2.解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．

●题型三 用换元法解分式方程
【例题5】（2022春•青浦区校级期末）用换元法解分式方程x2+1x−x3(x2+1)+1＝0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（　　）
A．3y2+3y﹣1＝0 B．3y2﹣3y﹣1＝0 C．3y2﹣y+1＝0 D．3y2﹣y﹣1＝0
【分析】由x2+1x=y，原方程可化为y−13y+1＝0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【解答】解：设x2+1x=y，
∴分式方程x2+1x−x3(x2+1)+1＝0可化为y−13y+1＝0，
化为整式方程：3y2+3y﹣1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．

【例题6】（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1x=2，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为： ；
（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=x−1x+1，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0；
（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0；
（3）原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1y=0的解．
当y＝1时，x−1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12；
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．

【解题技巧提炼】
换元法解分式方程：
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．

●题型四 用分式方程的解确定字母的值
【例题7】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程a−2x=1x−3的根，则a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：将x＝4代入分式方程可得，
a−24=1，
解得：a＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案．

【例题8】已知方程1x−1=ax+1的解为x＝2，求aa−1−1a2−a的值．
【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简aa−1−1a2−a，把a的值代入即可得出aa−1−1a2−a的值．
【解答】解：把x＝2代入1x−1=ax+1得，a＝3，
∴原式=a2a2−a−1a2−a
=(a+1)(a−1)a(a−1)
=a+1a，
当a＝3时，原式=a+1a=43．
【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键．

【例题9】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2x+4=mx与分式方程32x=1x−1的解相同，求m2﹣2m的值．
【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2x+4=mx，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．
【解答】解：32x=1x−1，
3（x﹣1）＝2x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是此方程的解；
把x＝3代入2x+4=mx，
得23+4=m3，
解得m=67；
把m=67代入m2﹣2m=(67)2−2×67=−4849．
【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键．


【解题技巧提炼】
把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.
●题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围
【例题10】（2021秋•周至县期末）若关于x的分式方程x+ax−3+2a3−x=13的解是正数，则a的取值范围为（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠3 D．a＞1且a≠3
【分析】首先解分式方程用含a的式子表示x，然后根据解是非负数，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵x+ax−3+2a3−x=13，
∴3（x+a）﹣6a＝x﹣3，
整理，可得：2x＝3a﹣3，
解得：x＝1.5a﹣1.5，
∵关于x的分式方程x+ax−3+2a3−x=13的解是非负数，
∴1.5a﹣1.5≥0，且1.5a﹣1.5≠3，
解得：a≥1且a≠3．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式的方法，掌握分式分母不为0是关键．
【例题11】（2022春•沙坪坝区校级期中）已知分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解x满足﹣2≤x≤5，求m的取值范围．
【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解为：x＝m﹣2，
∵分式方程有可能产生增根1或﹣2，
∴m﹣2≠1且m﹣2≠﹣2，
∴m≠3且m≠0，
∵分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解x满足﹣2≤x≤5，
∴﹣2≤m﹣2≤5，
解得：0＜m≤7，
综上，m的取值范围为：0＜m≤7且m≠3．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，考虑分式方程有可能产生增根是解题的关键．


【例题12】（2022秋•天山区校级期中）若关于x的一元一次不等式组4x−1＞3(x+2)a−2x≤5的解集为x＞7，且关于y的分式方程y+2ay−1+3y−81−y=2的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　 ．
【分析】先解一元一次不等式组，得到a−52≤7，则a≤19；再解分式方程得到a≥﹣5，a≠﹣3，且5+a是2的倍数，再结合题意求出符合条件的a的值有﹣5，﹣1，1，3，5，7，9，11，13，15，17，求和即可．
【解答】解：4x−1＞3(x+2)①a−2x≤5②，
由①得，x＞7，
由②得，x≥a−52，
∵不等式组的解集为x＞7，
∴a−52≤7，
解得a≤19；
y+2ay−1+3y−81−y=2，
y+2a﹣3y+8＝2y﹣2，
解得y=5+a2，
∵方程的解是非负整数，
∴5+a2≥0，且5+a是2的倍数，
∴a≥﹣5，且5+a是2的倍数，
∵y≠1，
∴a≠﹣3，
∴a的值为﹣5，﹣1，1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
∴﹣5+（﹣1）+1+3+5+7+9+11+13+15+17+19＝94，
∴满足条件的整数a的值之和是94．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．

【解题技巧提炼】
先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根.
●题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值
【例题13】（2021秋•岳阳楼区期末）关于x的方程x+1x−2=ax−2有增根，则a的值为 　 　．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x+1＝m
∵方程有增根，
∴增根使最简公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查分式方程的增根，正确理解增根的含义和出现的条件是解题的关键．
【例题14】（2022秋•巨野县期中）若关于x的方程x+1x2−x−13x=x+k3x−3有增根，求增根和k的值．
【分析】根据解分式方程的步骤，可得相应的整式方程的解，根据分式方程无解，可得答案．
【解答】解；方程两边都乘以3x（x﹣1），得
3（x+1）﹣（x﹣1）＝x（x+k）
化简，得
x2+（k﹣2）x﹣4＝0．
∵分式方程有增根，
∴x＝1或x＝0，
x＝1，k＝5，此时方程的解为﹣4，1是增根，
x＝0时，不合题意舍弃，
答：增根是1，k是5．
【点评】本题考查了分式方程的增根，先化成整式方程，把分式方程的曾根代入整式方程．
【例题15】（2022春•雁塔区校级期末）若关于x的方程2mx+1−m+1x2+x=1x有增根，求实数m的值．
【分析】先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
【解答】解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），
∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，
方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，
整理，得（2m﹣1）x＝m+2，
∴2m﹣1≠0，
解得m≠12，
当x＝0时，（2m﹣1）×0＝m+2，
解得m＝﹣2；
当x＝﹣1时，（2m﹣1）×（﹣1）＝m+2，
m=−13，
∴实数m的值为﹣2或−13．
【点评】此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求解．

【解题技巧提炼】
分式方程的增根
1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

●题型七 利用分式方程的无解确定字母的取值
【例题16】（2022秋•张店区校级月考）关于x的分式方程mx−3−23−x=1无解，则m的值 　 　．
【分析】整理分式方程，再令x＝3，代入求值，即可求出m的值．
【解答】解：将方程mx−3−23−x=1化简为，
m+2＝x﹣3，可得m＝x﹣5，当x＝3时，m＝x﹣5＝3﹣5＝﹣2，
∴当m＝﹣2时，方程无解．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式方程的解，综合性较强，难度适中．
【例题17】已知关于x的方程x−4x−3−m−4=m3−x无解，求m的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母，整理得
（m+3）x＝4m+8，①
由于原方程无解，故有以下两种情况：
（1）方程①无实数根，即m+3＝0，
而4m+8≠0，此时m＝﹣3．
（2）方程①的根x=4m+8m+3是增根，则4m+8m+3=3，解得m＝1．
因此，m的值为﹣3或1．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．

【解题技巧提炼】
分式方程的无解有两种情况：
一是分式方程转化为整式方程无解；
二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0.



◆◆◆题型一 分式方程的概念
1．（2021秋•金山区期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　）
A．1x+x=1 B．x3+3x4=25 C．1x−1=4x D．2x=1
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项符合题意；
C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．（2022秋•岱岳区校级月考）下列方程：①x2﹣2x=1x；②3x+54x−1=2x−13；③x4﹣2x2＝0；④12x2﹣1＝0．其中分式方程是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【解答】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．

◆◆◆题型二 用一般方法解分式方程
3．（2021秋•大理州期末）解下列分式方程：
（1）x2x−5+55−2x=1 （2）4x2−4−1x−2=3x+2
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为为1、检验解决即可．
【解答】解：（1）x2x−5+55−2x=1．
去分母，得x﹣5＝2x﹣5．
移项，得x﹣2x＝﹣5+5．
合并同类项，得﹣x＝0．
系数化为1，得x＝0．
检验：当x＝0时，2x﹣5≠0．
∴这个方程的解为x＝0．
（2）4x2−4−1x−2=3x+2．
去分母，得4﹣（x+2）＝3（x﹣2）．
去括号，得4﹣x﹣2＝3x﹣6．
移项，得﹣x﹣3x＝﹣6﹣4+2．
合并同类项，得﹣4x＝﹣8．
系数化为1，得x＝2．
检验：当x＝2时，x2﹣4＝0．
∴原分式方程无解．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
4．（2021秋•梁河县期末）解方程：
（1）xx+1=1x+1+3； （2）23x−1−49x2−1=0．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）xx+1=1x+1+3，
方程两边同乘（x+1）得：
x＝1+3（x+1），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x+1≠0
∴x＝﹣2是原方程的根；
（2）23x−1−49x2−1=0，
方程两边同乘（3x+1）（3x﹣1）得：
2（3x+1）﹣4＝0，
解得：x=13，
检验：当x=13时，（3x+1）（3x﹣1）＝0，
∴x=13是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

◆◆◆题型三 用换元法解分式方程
5．（2021春•宝山区校级月考）用换元法解方程x2+1x2+x+1x=4时，设y=x+1x，则原方程可变形为（　　）
A．y2+y＝4 B．y2+y＝2 C．y2+y＝6 D．y2﹣y＝4
【分析】先根据完全平方公式变形得出（x+1x）2﹣2x•1x+（x+1x）＝4，求出（x+1x）2+（x+1x）＝6，再得出选项即可．
【解答】解：x2+1x2+x+1x=4，
（x+1x）2﹣2x•1x+（x+1x）＝4，
（x+1x）2﹣2+（x+1x）＝4，
（x+1x）2+（x+1x）＝6，
设y＝x+1x，则原方程变形为y2+y＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．

6．在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（xx−1）2﹣4（xx−1）+4＝0．
学生甲：老师，原方程可整理为x2(x−1)2−4xx−1+4＝0，再去分母，行得通吗？
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师，我发现xx−1是整体出现的！
老师：很好，我们把xx−1看成一个整体，用y表示，即可设xx−1=y，那么原方程就变为y2﹣4y+4＝0．
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y﹣2）2＝0
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有xx−1=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x＝2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
（1）（2xx−1）2−4xx−1+1＝0；
（2）6x−y+4x+y=39x−y−1x+y=1．
【分析】（1）设2xx−1=y，则原方程变形为：y2﹣2y+1＝0，求得y的值，继而可得关于x的方程，即可求得x的值；
（2）设1x−y=u，1x+y=v，将原方程组转化为关于u、v的方程组求得u、v的值，继而可得关于x、y的方程组，解方程组可得．
【解答】解：（1）设2xx−1=y，则原方程变形为：y2﹣2y+1＝0，
即（y﹣1）2＝0，
故y＝1，
则：2xx−1=1，
解得：x＝﹣1，
经检验：x＝﹣1是原方程的解．
（2）设1x−y=u，1x+y=v，
则原方程组化为：6u+4v=39u−v=1，
解得：u=16v=12，
所以x+y=2x−y=6，
解得：x=4y=−2，
经检验，x=4y=−2是原方程组的解．
【点评】本题主要考查换元法解方程或方程组，解方程或方程组是基本技能，要熟练掌握其基本步骤和方法，将合适的整体设为新元是换元法的关键．

◆◆◆题型四 用分式方程的解确定字母的值
7．（2022春•吉州区期末）当x＝　 　时，代数式1x−2和32x+3的值相等．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：1x−2=32x+3，
去分母得：2x+3＝3x﹣6，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解，
故答案为：9
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．若关于x的分式方程m−3x−1=1的解为x＝2，求m的值.
【分析】方程两边都乘以x﹣1得到整式方程，解之求得x＝m﹣2，结合x＝2求解可得．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵x＝2，
∴m﹣2＝2，
解得m＝4．
【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

9．若关于x的方程4x−m2x=1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值．
【分析】把x＝2代入分式方程求出m的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵关于x的方程4x−m2x=1的根是2，
∴把x＝2代入方程得：2−m4=1，
解得：m＝4，
则（m﹣4）2﹣2m+8＝（4﹣4）2﹣2×4+8＝0．
【点评】此题考查了分式方程的解，做题时始终注意分式的分母不为0这个条件．

◆◆◆题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围
10．（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程k2x−4−1=xx−2的解为非负数，求k的取值范围．
【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．
【解答】解：k2x−4−1=xx−2，
去分母得：k﹣2x+4＝2x，
解得：x=k+44，
∵x﹣2≠0，
∴k+44≥0且k+44−2≠0，
解得：k≥﹣4且k≠4．
所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．
【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键．
11．若关于x的方程xx−4−3=ax−4的解不小于2，求a的取值范围．
【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣4），得
x﹣3（x﹣4）＝a，
解得x=12−a2≠4，
由关于x的方程xx−4−3=ax−4的解不小于2，得
12−a2≥2，
解得a≤8，
a的取值范围是a≤8且a≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．

◆◆◆题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值
12．（2022秋•锦江区校级月考）若关于x的分式方程xx−3+k3−x=4有增根，则k＝　 　．
【分析】去分母，得x﹣k＝4（x﹣3），将增根x＝3代入可得3﹣k＝0，进一步求解即可．
【解答】解：去分母，得x﹣k＝4（x﹣3），
将增根x＝3代入x﹣k＝4（x﹣3），
得3﹣k＝0，
解得k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
13．（2022秋•永定区期中）若关于x的分式方程2m−1x−1−7xx−1=5有增根，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2m﹣1﹣7x＝5x﹣5，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝4．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（2021秋•宁远县校级月考）若关于方程3x−3+mx2−9=2x+3有增根，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：3（x+3）+m＝2（x﹣3），
∵分式方程有增根，
∴（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，
把x＝3代入整式方程得：18+m＝0，即m＝﹣18；
把x＝﹣3代入整式方程得：m＝﹣12．
∴m的值是﹣18和﹣12．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

◆◆◆题型七 利用分式方程的无解确定字母的取值
16．（2021秋•岱岳区期末）关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1无解，则m的值为　 ．
【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据方程无解即可判断．
【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，
整理，得6x＝m+2，
解得x=m+26，
∵方程无解，则x＝1，
m+26=1，
解得m＝4．
故答案为：m＝4．
【点评】本题考查了分式方程，正确记忆无解的条件是分母等于0是解题关键．

16．已知关于x的方程x2+4x(x−2)−xx−2=ax无解，求a的值？
【分析】由分式方程无解得到最简公分母为0，求出x的值，原方程去分母转为化整式方程，将求出x的值代入计算即可求出a的值．
【解答】解：∵原方程无解，
∴最简公分母x（x﹣2）＝0，即x＝2或x＝0；
原方程去分母并整理得a（x﹣2）﹣4＝0，
∴ax＝4+2a，
若a＝0，无解；
若a≠0，
将x＝0代入得a（0﹣2）﹣4＝0，
解得：a＝﹣2，
将x＝2代入得a•0﹣4＝0，a无解，
综上所述a＝﹣2或0．
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．





1．（2021秋•逊克县期末）有下列方程：①2x+x−15=10；②x−1x=2；③12x+1−3=0；④2x3+x−12=0．属于分式方程的有（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【分析】根据分式方程的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①2x+x−15=10是整式方程，
②x−1x=2是分式方程，
③12x+1−3＝0是分式方程，
④2x3+x−12=0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．

2．（2022春•濮阳期末）解分式方程xx−3=53−x−2去分母变形正确的是（　　）
A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3）
C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）
【分析】根据等式的基本性质解决此题．
【解答】解：xx−3=53−x−2
去分母，得x＝﹣5﹣2（x﹣3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
3．（2022春•南岸区期末）解分式方程x−1x−2=1−1x的过程如下：
解：方程两边都乘x（x﹣2），
得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①
去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②
解这个方程，得x＝1③
检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④
以上解答过程中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：x−1x−2=1−1x，
方程两边都乘x（x﹣2），
得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①，
以上解答过程中，开始出错的一步是：①，
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
4．（2022春•南京期末）若关于x的方程3x−2x−2=0的解是x＝6，则关于y的方程3y2+2−2y2=0的解是（　　）
A．y1＝4，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣2
C．y1=14，y2=−14 D．y1=12．y2=−12
【分析】设y2+2＝a，则关于y的方程可化为3a−2a−2=0，从而可得a＝6，然后解方程y2+2＝6，进行计算即可解答．
【解答】解：设y2+2＝a，则方程3y2+2−2y2=0可化为：
3a−2a−2=0，
∵方程3x−2x−2=0的解是x＝6，
∴a＝6，
检验：当a＝6时，a（a﹣2）≠0，
∴a＝6是原方程的根，
∴y2+2＝6，
∴y1＝2，y2＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．
5．（2022•平顶山二模）定义运算m※n＝1+1m+n，如：1※2＝1+11+2=43，则方程x※（x+1）=32的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x=−12 D．x=12
【分析】先根据新运算得出1+1x+x+1=32，求出12x+1=12，再方程两边都乘2（2x+1）得出2＝2x+1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：x※（x+1）=32，
1+1x+x+1=32，
12x+1=12，
方程两边都乘2（2x+1），得2＝2x+1，
解得：x=12，
检验：当x=12时，2（2x+1）≠0，
所以x=12是原方程的解，
即原方程的解是x=12，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

6．（2022春•柯桥区期末）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=n3m−9，若关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1无解，则a的值是（　　）
A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3
【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：∵m☆n=n3m−9，
∴x☆x=x3x−9，x☆12=123x−9，
∴原方程就是：
ax3x−9=123x−9+1，
去分母得：
ax＝12+3x﹣9，
移项，合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
解得：x=3a−3．
∵关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1无解，
∴原方程有增根3或a﹣3＝0．
∴3a−3=3或a﹣3＝0．
解得：a＝4或a＝3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．

7．若关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x＝c，x=2c，则关于x的方程的x+2x−1=a+2a−1的解是（　　）
A．a，2a B．a﹣1，2a−1 C．a，2a−1 D．a，a+1a−1
【分析】根据：若关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x＝c，x=2c，方程的左边是未知数与未知数的倒数的2倍的和，右边与方程左边的结构相同，是一个数与这个数的倒数的2倍的和，则方程的解是这个数和这个数的倒数的2倍，据此即可求解．
【解答】解：x+2x−1=a+2a−1即x﹣1+2x−1=a﹣1+2a−1
则x﹣1＝a﹣1或2a−1
解得：x1＝a，x2=2a−1+1=a+1a−1
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，正确理解已知条件是解决本题的关键．
8．关于x的分式方程mx−5=1，下列说法正确的是（　　）
A．方程的解是x＝m+5
B．m＞﹣5时，方程的解是正数
C．m＜﹣5时，方程的解为负数
D．无法确定
【分析】先按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值讨论m的范围，即可作出判断．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5，
解得：x＝m+5，
∴当x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误；
当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，则当m＞﹣5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误；
当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，则m＜﹣5时，方程的解为负数，故选项C正确；
显然选项D错误．
故选：C．
【点评】本题在判断方程的解是正数时，容易忽视m≠0的条件．

9．当a＝　 　时，关于x的方程x+1x−2=2a−3a+5的解等于零？
【分析】本题需先把分式方程化成整式方程，再根据x的方程x+1x−2=2a−3a+5的解等于零，即可求出a的值．
【解答】解：x+1x−2=2a−3a+5，
（x﹣2）（2a﹣3）＝（x+1）（a+5）
ax﹣8x﹣5a+1＝0，
把x＝0代入，得﹣5a+1＝0，
解得a=15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，在解题时要根据已知条件进行整理是本题的关键．

10．（2021秋•阿鲁科尔沁旗期末）关于x的分式方程x+mx−2+2m2−x=3的解为正数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣6 B．m＞6 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2
【分析】先解分式方程，可得x＝3−m2，根据题意可得，x＞0，且x﹣2≠0，进行计算即可得出答案．
【解答】解：x+mx−2+2m2−x=3，
x+mx−2−2mx−2=3，
x+m﹣2m＝3（x﹣2），
解得：x＝3−m2，
∵3−m2＞0且3−m2≠2，
∴m＜6且m≠2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解进行求解是解决本题的关键．

11．（2022秋•沙坪坝区校级期中）若整数m既使得关于x的分式方程8−mx2−x−2=xx−2有整数解，又使得关于y的不等式组2y+1＞02(y+2m)≤5m至少有三个整数解，则符合条件的所有m之和为（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出m＝﹣1，1，2，4，7，根据不等式组的解集为−12＜y≤12m，即可得出m≥4，找出a的所有整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：解分式方8−mx2−x−2=xx−2，得：x=4m−3，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴m＝﹣1，1，2，4，7，
解不等式2y+1＞02(y+2m)≤5m，得：−12＜x≤12m，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴12m≥2，
解得m≥4，
∴符合条件的所有整数m之和为4+7＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，掌握分式方程中的解要满足分母不为0是关键．

12．（2021秋•碧江区 期末）关于x的方程1−2x+2a−2x2−1=x+ax−1无解，则a的值为 　 　．
【分析】去分母整理成整式方程，根据分式方程无解，求出a的值即可．
【解答】解：去分母得：x2﹣1﹣2x﹣2a+2＝x2+ax+x+a，
整理得：（a+3）x＝1﹣3a，
∵分式方程无解，
∴当整式方程无解时，a+3＝0，解得a＝﹣3；
当分式方程有增根，则x＝1或﹣1，
∴（a+3）×1＝1﹣3a或（a+3）×（﹣1）＝1﹣3a，
解得a＝2或−12．
故答案为：﹣3，−12，2．
【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是熟知分式方程无解的两种情况：去分母转化后的整式方程无解或者整式方程的解是原分式方程的增根．

13．（2021秋•白碱滩区期末）解方程：
（1）xx−2+2x2−4=1； （2）x−3x−2+1=32−x．
【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验解决此题．
（2）通过去分母、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验解决此题．
【解答】（1）xx−2+2x2−4=1；
去分母，得x（x+2）+2＝x2﹣4，
去括号，得x2+2x+2＝x2﹣4，
移项，得x2﹣x2+2x＝﹣4﹣2，
合并同类项，得2x＝﹣6，
x的系数化为1，得x＝﹣3．
检验：当x＝﹣3，x2﹣4≠0．
∴这个方程的解为x＝﹣3．
（2）x−3x−2+1=32−x．
去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，
移项，得x+x＝3﹣3+2，
合并同类项，得2x＝1，
x的系数化为1，得x＝1．
检验：当x＝1，x﹣2≠0．
∴这个方程的解为x＝1．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．

14．若关于x的分式方程m−2xx−2=13的解大于1，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
去括号得：3m﹣6x＝x﹣2，
解得：x=3m+27，
根据题意得：3m+27＞1且3m+27≠2，
解得：m＞53且m≠4．
∴m的取值范围是m＞53且m≠4．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．已知方程axa+1−2x+1=2的解与方程xx+1+2x−1=1的解相同，求a的值．
【分析】先解方程xx+1+2x−1=1，然后将方程的解代入axa+1−2x+1=2即可求出a值．
【解答】解：xx+1+2x−1=1，
化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）＝x2﹣1，
化简得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3，
将x＝﹣3代入axa+1−2x+1=2，
解得a=−14，
经检验a=−14是原方程的解，
∴a=−14．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握方程的解法是解题关键．

16．关于x的方程：ax+1x−1−21−x=1．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
【分析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为3x+1x−1−21−x=1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，
当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3，
综上，a的值为﹣3．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（2022秋•栖霞市期中）已知分式方程31+x−x1+x=■有解，其中“■”表示一个数．
（1）若“■”表示的数为7，求分式方程的解；
（2）小瑞回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是﹣1或0其中之一，请你确定“■”表示的数．
【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；
（2）把﹣1和0分别代入方程，求出解判断即可．
【解答】解：（1）根据题意得：31+x−x1+x=7，
去分母得：3﹣x＝7+7x，
解得：x=−12，
检验：把x=−12代入得：1+x≠0，
∴分式方程的解为x=−12；
（2）若“■”是﹣1，则有31+x−x1+x=−1，
去分母得：3﹣x＝﹣1﹣x，无解；
若“■”是0，则有31+x−x1+x=0，
去分母得：3﹣x＝0，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：1+x≠0，
所以“■”代表的数是0．
【点评】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
18．观察下列方程及其解的特征：
（1）x+1x=2的解为x1＝x2＝1；
（2）x+1x=52的解为x1＝2，x2=12；
（3）x+1x=103的解为x1＝3，x2=13 …
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+1x=265的解为　 　；
（2）请猜想：关于x的方程x+1x=　 　的解为x1＝a，x2=1a；
（3）请猜想：x﹣1+1x−1=174的解为　 　．
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【解答】解：（1）猜想方程x+1x=265即方程x+1x=5+15的解是x1＝5，x2=15；
（2）猜想方程关于x的方程x+1x=a+1a的解为x1＝a，x2=1a的解是x1＝a，x2=1a；
（3）方程x﹣1+1x−1=174变形为x﹣1+1x−1=4+14，可得x﹣1＝4或x﹣1=14，解得：x1＝5，x2=54．
故答案为x1＝5，x2=15；a+1a；x1＝5，x2=54．
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．

19．已知关于x的分式方程2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2．
（1）若解得方程有增根，且增根为x＝﹣2，求m的值．
（2）若方程无解，求m的值．
【分析】先去分母，整理得（m+1）x＝﹣5，
（1）根据方程有增根，且增根为x＝﹣2，求解即可；
（2）根据方程无解，分情况讨论：当x＝﹣2，x＝1，m+1＝0分别求解即可．
【解答】解：去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1，
整理，得（m+1）x＝﹣5，
（1）将x＝﹣2代入（m+1）x＝﹣5，
解得m=32；
（2）∵方程无解，
当x＝﹣2时，m=32；
将x＝1代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝﹣6，
当m+1＝0时，m＝﹣1，
∴满足条件的m的值有32或﹣6或﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
20．（2022秋•青州市期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）【理解应用】解方程x2+2x=5+25；
（2）【知识迁移】若关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值．
【分析】（1）根据给定的方法解方程即可；
（2）根据给定的方法可得a+b＝7，ab＝3，再根据完全平方公式进一步计算a2+b2即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x=5+25，
即x+2x=5+25，
∴x1＝5，x2=25；
（2）∵关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，
∴a+b＝7，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣6＝43．
【点评】本题考查了分式方程的解，完全平方公式等，理解给定的解方程的方法是解题的关键．