八年级数学上册专题12.31 作辅助线证明三角形全等-倍长中线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.31 作辅助线证明三角形全等-倍长中线（知识讲解）

知识要点：

    中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．

   倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．

    倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角相等）

倍长中线最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法讲解】常用辅助线添加方法——倍长中线

     △ABC中， AD是BC边中线， 如图一              

                  图一                                         图二

方式1： 延长AD到E，使DE=AD， 连接BE  如图二

结论：

方式2：间接倍长  

如图三：作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E；

如图四：延长MD到N，使DN=MD，  连接CN，

               图三                             图四                             

   【典型例题】

 1．【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可证出△ADC与△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值范围．

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．

【应用方法】

（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；

【拓展应用】

（2）已知：如图2，AD是△ABC的中线，BA＝BC，点E在BC的延长线上，EC＝BC．写出AD与AE之间的数量关系并证明．

【答案】（1）1＜AD＜7；（2）2AD=AE．理由见分析

【分析】

（1）延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），得出AC=BE=6，由三角形三边关系可得出答案；

（2）延长AD至F，使DF=AD，由SAS证明△BDF≌△CDA，利用已知条件推出∠FBA=∠ACE，再由SAS证明△ACE≌△FBA即可得到2AD=AE．

解：（1）证明：延长AD至E，使DE=AD，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDA中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴AC=BE=6，

在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，

∴8-6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7；

（2）2AD=AE．理由如下：

证明：延长AD至F，使DF=AD，

∵AD是BC的中线，

∴BD=CD，

在△BDF和△CDA中，

，

∴△BDF≌△CDA（SAS），

∴AC=BF，∠CAD=∠F，

∴AC∥BF，

∴∠FBA+∠BAC=180°，

∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠ACE+∠BCA=180°，

∴∠FBA=∠ACE，

∵BA=BC，EC=BC，

∴BA=EC，

在△ACE和△FBA中，

，

∴△ACE≌△FBA（SAS），

∴AE=AF，

∵2AD=AF，

∴2AD=AE．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．

【分析】延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可．

解：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF

在△ADC和△FDB中，

∴（SAS）

∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．

∵BE＝AC，

∴BF＝BE

∴∠BED＝∠F，

∴∠BED＝∠CAD．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．

 2．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM＝AD；

②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　      ；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见分析；（3）EF＝2AD，证明见分析．

【分析】

（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；

（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；

（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．

解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△MDB和△ADC中，

，

∴△MDB≌△ADC（SAS），

∴BM＝AC＝6，

在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，

∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，

∴1＜AD＜7，

故答案为：1＜AD＜7；

（2）AC∥BM，且AC＝BM，

理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，

∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，

∴AC∥BM；

（3）EF＝2AD，

理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），

∴BM＝AC，

∵AC＝AF，

∴BM＝AF，

由（2）知：AC∥BM，

∴∠BAC+∠ABM＝180°，

∵∠BAE＝∠FAC＝90°，

∴∠BAC+∠EAF＝180°，

∴∠ABM＝∠EAF，

在△ABM和△EAF中，

，

∴△ABM≌△EAF（SAS），

∴AM＝EF，

∵AD＝DM，

∴AM＝2AD，

∵AM＝EF，

∴EF＝2AD，

即：EF＝2AD．

【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．

举一反三：

【变式】某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】

如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．

【理解与应用】

如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．

（1）求证：AC＝BD；

（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．

【答案】[探究与发现]见分析；[理解与应用]（1）见分析；（2）1＜x＜4

【分析】

[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；

[理解与应用]（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．

解：[探究与发现]

证明：∵DE∥AB，

∴∠B=∠D，

又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC（ASA）；

[理解与应用]

（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，

∵点E是CD的中点，

∴ED=EC，

在△DEF与△CEA中，

，

∴△DEF≌△CEA（SAS），

∴AC=FD，

∴∠AFD=∠CAE，

∵∠CAE=∠B，

∴∠AFD=∠B，

∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠FAD，

在△ABD与△AFD中，

，

∴△ABD≌△AFD（AAS），

∴BD=FD，

∴AC=BD；

（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，

∴AB=AF=2x，

∵BD=3，AD=5，

在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，

即5-3＜2x＜5+3，

解得：1＜x＜4，

即x的取值范围是1＜x＜4．

【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

 3．阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图1，在△ABC中，若 AB＝12，AC＝8，求 BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使 DE＝AD，再连接 BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是_______.

问题解决：

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．

问题拓展：

（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC交 CA延长线于点E，F是 AC上一点，且DF＝DB．

求证：AC﹣AE＝AF．

【答案】（1）2＜AD＜10；（2）证明见分析；（3）证明见分析.

【分析】

（1）延长 AD 到点 E 使 DE＝AD，连接 BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到 BE＝AC，根据三角形三边关系计算；

（2）延长 CB 到 G，使 BG＝DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到 AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；

（3）作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，分别证明 Rt△DEF≌Rt△DHB，

△DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．

解：（1）延长 AD 到点E使 DE＝AD，连接 BE，

在△ADC 和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝8，

AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即21﹣8＜2AD＜12+8，

∴2＜AD＜10，

故答案为2＜AD＜10；

（2）证明：延长 CB 到 G，使 BG＝DF，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，

∴∠ADC＝∠ABG，

在△ABG 和△ADF 中，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，

∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝ ∠BAD，

∴∠GAE＝∠FAE，

在△AEG 和△AEF 中，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴EF＝GE，

∴EF＝BE+BG＝BE+DF；

（3）证明：作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，

∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC，

∵点 D 是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE＝DH，AH＝AE，

在 Rt△DEF 和 Rt△DHB 中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）

∴∠DFA＝∠DBA，

在△DAF 和△DRB 中，

∴△DAF≌△DRB（SAS）

∴DA＝DR，

∴AH＝HR＝AE＝ AR，

∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE

∴AC﹣AE＝AF．

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；

（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．

【答案】（1）见分析；（2）

【分析】

（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；

（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．

解：（1）如图1所示，延长至点，使，

在与中，

，

，

，

，

，

在与中，

,

，

，

；

（2）如图所示，，

，

平分，，

，

，，

，作，

在与中，

，

，

，

，

在与中，

，

，

，

，

，

设，

，，

．

【点拨】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．