2022-2023学年上海市格致中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市格致中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为  ．

【答案】

【分析】设直线的方向向量为，直线的倾斜角为．利用，即可得出．

【详解】解：设直线的方向向量为，直线的倾斜角为．

则，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．

2．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为      ．

【答案】/

【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可

【详解】∵圆锥的底面半径为1，∴侧面展开图的弧长为，

又∵侧面展开图是半圆，∴侧面展开图的半径为2，即圆锥的母线长为2，故圆锥的高为，故体积

故答案为：

3．已知随机变量X服从二项分布，且，则      .

【答案】/

【分析】根据二项分布的期望公式，求得，得到，结合方差的公式，即可求解.

【详解】由题意知，随机变量服从二项分布，

因为，可得，解得，即，

所以.

故答案为：.

4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则       ．

【答案】或

【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求的值.

【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是，

因为两条渐近线的夹角是，所以直线的倾斜角是或，

即或.

故答案为：或

5．已知是抛物线上一点，F为该抛物线的焦点，，则      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出作答.

【详解】抛物线的准线方程为，而F为该抛物线的焦点，在抛物线上，

因此，解得，则抛物线方程为，即有，

所以.

故答案为：

6．设E是正方体的棱的中点，在棱上任取一点P，在线段上任取一点Q，则异面直线PQ与BD所成角的大小为      ．

【答案】/

【分析】连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理可知，即可得解.

【详解】连接，由底面为正方形，可知，

由正方体的性质，可知平面，又平面，则

又，则平面，

由已知可知平面，则

所以异面直线PQ与BD所成角的大小为

故答案为：

7．三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则      .

【答案】

【分析】先分别计算事件和事件的情况数，在根据条件概率的定义计算.

【详解】根据条件概率的定义，的含义为在事件发生的前提下，事件发生的概率，

事件的情况数为，

对于事件，因为“三个点数都不相同”，则只有一个2点，故有种情况，

所以.

故答案为：.

8．如图，在平行六面体中，，，，则的长为      .

【答案】2

【分析】可以看成空间的一个基底，由空间向量基本定理可以表达出，则，利用向量的相关知识即可求解.

【详解】，

又：，，，

∴

.

故答案为：2.

9．设，若关于x的方程有3个不同的实根，则的取值范围是      .

【答案】

【分析】先令，用导数的方法判断函数的单调性，得到的极值，得到函数有三个不同零点，由极大值大于0，极小值小于0，即可得出结果.

【详解】记，

令，

得或，

由得或，此时为增函数，

由得，此时为减函数，

即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，即，

因为关于的方程有三个不同的实根，

所以函数有三个不同零点，

因此，只需 ，即 ，解得，

即关于的方程有三个不同的实根的范围是 ．

故答案为：.

10．设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为      .

【答案】/

【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值.

【详解】如下图所示：

由题意可知，点为椭圆的左焦点，

因为点、，易知点为线段的中点，

又因为为的中点，所以，，

取线段的中点，连接，则，所以，，

所以，，故，

设点、，则点，

所以，，两个等式作差可得，可得，

所以，，

所以，椭圆的离心率为.

故答案为：.

11．已知对于任意，不等式都成立（是自然对数的底数），则的最小值是      .

【答案】

【分析】令，由题意可知，，对实数的取值进行分类讨论，求出的最小值，可得出，令，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.

【详解】对任意的，不等式恒成立，等价于，

令，其中，则.

①当时，则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；

②当时，由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，

所以，，则，

令，其中，则，

由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，故的最小值为.

故答案为：.

12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.

给出下列三个结论：

①曲线关于直线对称；

②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；

③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是        .

【答案】①②

【解析】将代入也成立得①正确；利用不等式可得，故②正确；联立得四个交点，满足条件的最小正方形是以为中点，边长为2的正方形，故③不正确.

【详解】对于①，将代入得成立，故曲线关于直线对称，故①正确；

对于②，因为，所以，所以，

所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确；

对于③，联立得，从而可得四个交点，，，，

依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确.

故答案为：①②

【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.

二、单选题

13．已知事件A、B是相互独立事件，、分别是A、B的对立事件，那么下列等式中不一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据独立事件的性质判断A，根据条件概率公式B，再由对立事件的性质判断C，根据和事件的性质判断D．

【详解】因为、是相互独立事件，、分别是、的对立事件，

所以、是相互独立事件，

所以，A正确；

，B正确；

，C正确；

，D不一定成立．

故选：D．

14．已知函数，其导函数记为，有以下四个命题：

①若为偶函数，则为奇函数；

②若为偶函数，则为奇函数；

③若为周期函数，则也为周期函数；

④若为周期函数，则也为周期函数.

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用偶函数的定义和复合函数求导可判断选项A；通过举反例可判断选项B；由周期函数的定义和复合函数求导可判断选项C；通过举反例可判断选项D.

【详解】对于①，若为偶函数，则，

两边取导，得，即，

函数为奇函数，故①为真命题；

对于②，若为偶函数，则不一定为奇函数.

例如，，

此时为偶函数，不是奇函数，故②为假命题；

对于③，若为周期函数，

即，则，

得，故③为真命题；

对于④，若为周期函数，则不一定为周期函数.

比如，但，

显然为周期函数，则不是周期函数，

故④为假命题.

真命题的个数有2个.

故选：B

15．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（    ）

A．无论k、、如何，总是无解

B．无论k、、如何，总有唯一解；

C．存在k、、，使之恰有两解

D．存在k、、，使之有无穷多解

【答案】B

【分析】根据题意，可得与不共线，得到，进而得到一定有唯一解，即可得到答案.

【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，

且直线斜率存在，且不过原点，所以与不共线，可得，

所以关于和的方程组，一定有唯一解.

故选：B.

16．如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值.

【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，

平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，

四边形为正方形，，

平面，平面，，

，平面，平面；

同理可得：平面；

平面的法向量为，平面的法向量为，

，，

，，即与的夹角为，

所求锐二面角的大小的余弦值是.

故选：C．

三、解答题

17．如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.

(1)求证：平面；

(2)若为的中点，求四面体的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）推导出平面，并计算出的长以及的面积，利用锥体的体积公式可求得四面体的体积.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，，

因为，，、平面，所以，平面，

因为平面，所以，，

因为，为的中点，则，

因为，、平面，因此，平面.

（2）解：因为、分别为、的中点，则且，

因为平面，则平面，

因为平面，平面，所以，，

则，

因为为的中点，则，

因此，.

18．某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图.

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.

(1)根据上图的数据，补全下方列联表，并依据显著性水平的独立性检验，分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？

附：，，，与k的若干对应数值见下表：

(2)该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数，求X的分布及其期望.

【答案】(1)列联表见解析，不能

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；

（2）根据题意分析可得，结合二项分布求分布列和期望.

【详解】（1）因为“年轻人”（20岁-39岁）所占的频率为，人数为，

“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）的人数为，

“健身达人”所占的频率为，人数为，

“健身爱好者”的人数为，

其中“年轻人”且“健身达人”的人数为，

据此列联表为

可得，

所以“健身达人”与这个人为“年轻人”没有关联.

（2）由题意可知：既是“年轻人”又是“健身达人”的频率，

用频率估计概率，可得，则有：

，

，

则X的分布为

期望.

19．已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上的动点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当取最大值时，求的面积；

(3)已知r为正常数，过动点P作圆的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在r，使得为定值？若存在，求出r及的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据题意可得，解得，，，即可得出答案．

（2）设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，由基本不等式可得取得最小值，可得取得最大值，即点为短轴的一个顶点，再计算，即可得出答案．

（3）设，，，根据是圆的切线，可得，同理可得，进而可得，为方程的两个根，由韦达定理可得答案．

【详解】（1）根据题意可得，

解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）设，，

由椭圆的定义可得，

又，

，

因为（当且仅当时，取等号），

所以，即，

所以，

所以，

所以当且仅当时，取得最小值，取得最大值，

即点为短轴的一个顶点，

所以．

（3）设，，则直线的直线方程为，

又是圆的切线，

所以，

即，

同理可得，

所以，为方程的两个根，

所以，

因为，为动点，

所以，不存在定值．

【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．

20．已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；

(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.

【答案】(1)

(2)1个，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）对函数求导，依条件求解不等式，参变分离求出a的取值范围；

（2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数；

（3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证.

【详解】（1）若，则，

由题意，对任意的都有，

则，即，

所以，

由于的最小值为，的最大值为，

所以，即实数a的取值范围为；

（2）依题意，，

所以，在上为减函数，所以至多一个零点；

，，

当时，，

当时，，

所以存在零点，综上存在1个零点；

（3）因为，由导数的定义得 ，

即，

不妨设

若，则

若，

则

.

命题得证.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形．

（2）构造新的函数．

（3）利用导数研究的单调性或最值．

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．