2022-2023学年上海市洋泾中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市洋泾中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．设集合，集合，则         .

【答案】

【解析】结合交集的概念，直接求出两个集合的交集即可.

【详解】∵集合，，

∴.

故答案为：.

2．不等式的解集是      .

【答案】

【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

【详解】或，得.

故答案为：.

3．在的二项展开式中，含有项的系数为      .

【答案】160

【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可.

【详解】因为的通项公式为：，

所以令，

项的系数为.

故答案为：160.

4．甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为      .

【答案】/

【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解

【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为

甲乙和棋的概率为：

故答案为：.

5．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为          ．

【答案】

【分析】根据条件概率公式即可求解.

【详解】记事件A为“甲地下雨”，B为“乙地下雨”，

所以，，

所以.

故答案为：.

6．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有      种.（结果用数值表示）

【答案】48

【分析】先从除甲外的4人选1人担任语言服务工作，然后从剩下的4人中选2人分别去担任人员引导和应急救助工作即可.

【详解】由题意可知，先从除甲外的4人选1人担任语言服务工作，有种方法，

然后从剩下的4人中选2人分别去担任人员引导和应急救助工作，有种方法，

所以由分步乘法原理可知不同的选法共有种，

故答案为：48

7．已知随机变量，且，则的最小值为      ．

【答案】

【分析】根据正态分布的性质得到，再利用基本不等式计算可得.

【详解】因为随机变量，且，

所以，即，

因为，所以，

所以，当且仅当时取等号.

故答案为：

8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

因为不等式恒成立，所以，即或，

解得或，即.

故答案为：

9．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则      .

【答案】

【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y即可求解.

【详解】由题意，甲的中位数为：，故乙的中位数①

，

，

因为平均数相同，所以②，

由①②可得，，

所以，

故答案为：.

10．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：

  若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则      （填，，，）

【答案】

【分析】根据散点图可知两个量呈负相关，且去掉数据后相关性变强，结合相关系数的概念判断即可.

【详解】根据散点图可知，羊只数量与草地植被指数呈负相关，则相关系数，，

当去掉第一年数据后，数据的线性相关性变强，所以，所以．

故答案为：

11．设，为两个随机事件，

①若，是互斥事件，，则；

②若，是对立事件，则；

③若，是独立事件，，，则；

④若，，且，则，是独立事件.

以上命题正确的序号为      .（填写序号）

【答案】②③④

【分析】根据互斥事件的概率加法公式，对立事件的性质以及独立事件的概率乘法公式，可得答案.

【详解】①：由是互斥事件，则，故①错误；

②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确；

③：由是独立事件，则也是互相独立的，

即，故③正确；

④：由，，

则相互独立，即相互独立，故④正确.

故答案为：②③④.

12．设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为         ．

【答案】

【分析】设，，利用导数求出的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数满足，即可得到且，从而求出参数的取值范围.

【详解】设，，则，

，，在上单调递增，

，，在上单调递减，

时函数取极大值即最大值，

又，，，

直线恒过定点且斜率为，

要使有且仅有两个整数满足，

即有且仅有两个整数满足，

且，

解得，即.

故答案为：．

二、单选题

13．对于实数，，，且是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若“且”则“”成立，

当，时，满足，但且不成立，

故且”是“”的充分非必要条件．

故选：A．

14．用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）

A． B．

C．最小 D．最小

【答案】D

【分析】由最小二乘法的定义判断即可.

【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，

即残差平方和最小.

故选：D

15．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.

【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；

函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；

解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.

故选：A.

16．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得D正确；令，代入中即可求得A错误；令，由可推导得到B错误；设，由可知，结合可知，由此可得，知C错误.

【详解】由得：，

，关于中心对称，则，

为奇函数，，左右求导得：，

，为偶函数，图象关于轴对称，

，

是周期为的周期函数，

，D正确；

，，又，

，A错误；

令，则，，

又，，，

即，B错误；

，，

设，则，，

又为奇函数，，，

即，C错误.

故选：D

【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：

①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；

②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.

三、解答题

17．设函数.

（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；

（2）当时，对任意的都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）因为不等式的解集是，

所以是方程的解

由韦达定理得：，

故不等式为.

解不等式得其解集为.

（2）时，

据题意，恒成立，

则可转化为

设，则，

关于递减，

所以，∴.

18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）连接交于点，连接，

由四边形为正方形，

可知为中点，为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

19．某大学学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.

(1)求的值，并估计学院学生5月份累计跑步里程在中的男生人数；

(2)从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为，求的分布及期望.

【答案】(1),人.

(2)答案见解析,

【分析】（1）首先求出男女生人数之比，即可得到方程，求出a的值，再由样本求出估计值；

（2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

【详解】（1）依题意，男女生人数之比为，

所以，解得，

故计学院学生月份跑步里程在中的男生人数为人.

（2）依题意的可能取值为,

所以，，，

所以X的分布列为

所以

20．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；

(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；

（2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；

（3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上．

【详解】（1）依题可得，解得，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）设，，因为直线过点且斜率不为，

所以可设的方程为，代入椭圆方程得，

其判别式，所以，.

两式相除得，即．

因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，

所以，．

从而．

（3）由（1）知，设，则，

所以直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，

所以直线与直线的交点的坐标为，

所以点在定直线上.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．已知函数，，.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围；

(3)在（2）的条件下，证明：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得；

（2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围；

（3）构造差函数，证明极值点偏移问题.

【详解】（1）定义域为，，

所以切线斜率为，

又，所以切线方程为，即.

（2），

定义域为，，

①当时，有恒成立，在上单调递增，

函数不可能有两个零点；

②当时，由，解得，由，解得，

故函数在上递增，在上递减．

因为，

故，

设，，

则，当时，，当时，，

函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故，

即

，

取，则.

因此，要使函数且两个零点，只需，

即，化简，得，

令，因为，

所以函数在上是单调递增函数，

又，故不等式的解为，

因此，使求实数a的取值范围是：.

（3）因为，所以，

根据（2）的结果，不妨设，则只需证明，

因为在时单调递增，且，，

于是只需证明，

因为，所以即证，

记，，

，

所以在单调递增，则，

即证得，原命题得证.

【点睛】关键点睛：极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择.