2022-2023学年上海市静安区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市静安区高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．以为准线的抛物线的标准方程是      ．

【答案】

【分析】设，根据，解出即可.

【详解】以为准线的抛物线的标准方程是，，，

故答案为：.

2．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有          种排法.

【答案】240

【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可.

【详解】先排甲和乙，有种排法，

再排其他5人，有种排法，

根据分步乘法计数原理，共有种排法.

故答案为：240

3．过点的直线与圆相切，则直线的斜率为      .

【答案】或

【分析】设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率即可.

【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径为1，

当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，由题意，

所以，平方化简得，解得或.

故答案为：或.

4．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为          .

【答案】

【分析】设双曲线的方程为：，把点代入双曲线方程即可求解．

【详解】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，

把点代入双曲线方程可得，

所以双曲线方程为，化为标准方程得，

所以，，，，

所以双曲线的焦距为．

故答案为：．

5．已知曲线上一点，则在点处的切线方程为          .

【答案】

【分析】根据导数求出曲线在该点的斜率，然后直接求解即可.

【详解】的导数为，

该曲线在处的斜率，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：

6．一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，则其中至少取到2个白球的概率为          .

【答案】

【分析】本题主要考查了组合与古典概型，由题意可得从口袋内随机取出3个球的方法数与其中至少取到2个白球的方法数，运用古典概型计算公式计算即可.

【详解】由题意可得从口袋内随机取出3个球共有种取法，

其中至少取到2个白球的方法数有种，

故其中至少取到2个白球的概率为.

故答案为：.

7．类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为          ．

【答案】关于轴对称，，

【分析】根据有意义得出的范围，再根据的范围得出的范围；分别以代，以代，及以代，代，判断与原方程的关系即可得出对称性．

【详解】由得，

因为，

所以，即，

在曲线方程中，以代，得，与方程相同，所以曲线关于轴对称；

以代，得，与原方程不同，所以曲线不关于轴对称；

以代，代，得，与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形，

故答案为：关于轴对称，，．

8．已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，的值为          .

【答案】2

【分析】设食品罐头的体积是为常数），由题意可得，再写出圆柱的表面积，利用基本不等式求最值，即可求得的值．

【详解】设食品罐头的体积是为常数）．

由题意可得，

圆柱的表面积

．

当且仅当，即时等号成立，此时．

．

故答案为：2．

二、单选题

9．的展开式中的常数项为（    ）．

A．－120 B．120 C．－60 D．60

【答案】D

【分析】先求出展开式的通项，令即得解.

【详解】的展开式中的项为，

令，解得，

所以的展开式中的常数项为.

故选：D．

10．已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据瞬时速度含义，求导运算即可.

【详解】因为物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，

所以，令，得.

故选：A

11．如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴的长为2的半个椭圆，设是该图形上任意一点，则与线段的长度的最大值最接近的是（    ）

A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4

【答案】C

【分析】建立直角坐标系，求出椭圆方程，设点P的坐标为，结合两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

由题意，且椭圆焦点在y轴上，所以半椭圆方程为，

，，设点P的坐标为，则，

所以，

因为，所以当时，所以，

所以选项中与线段的长度的最大值最接近的是.

故选：C

三、解答题

12．设椭圆C：过点（0，4），离心率为.

（1）求C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用待定系数法求出=4，再根据，代入即可求解.

（2）直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立消，利用韦达定理即可求解.

【详解】（1）将（0，4）代入C的方程得，

∴=4，又 得，

即，∴A=5， ∴C的方程为．

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与C的交点为A，B，

将直线方程代入C的方程，得，

即， AB的中点坐标，

，即中点为．

【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.

13．如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；

(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）

【答案】(1)建系见解析，圆拱方程为，.

(2)桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m

【分析】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可；

（2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可.

【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，

中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设与轴交于点，与轴交于点，连接

设圆的半径为，

则，，，

在直角中，，

所以，解得，

所以，

所以圆拱方程为，.

（2）由题意得，，

令，得，

所以，

所以，所以.

所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m

14．设，函数.

(1)请讨论该函数的单调性；

(2)求该函数在闭区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)在上递增，在上递减

(2)答案见解析.

【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间；

（2）根据（1）中的单调性，对进行分类讨论即可求出函数的最大值.

【详解】（1）函数的定义域为，

由，得，

因为，

由，得，得，

由，得，得，

所以在上递增，在上递减；

（2）①当时，函数在区间上单调递增，

所以，

，

②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，

，

由，得时，，

由，得时，，

③当时，函数在区间上单调递减，

所以，

，

综上，当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是正确在对分为，，和四种情况求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.

15．（1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：；

（2）按（1）中的组合数性质公式，有.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.

【答案】（1）证明见解析；

（2）过程见解析.

【分析】（1）根据组合数的计算公式直接展开计算证明；

（2）根据题意列出实际问题，结合分类加法计数原理说理即可.

【详解】（1）等式左边，

等式右边

，

等式左边=等式右边，原式得证.

（2）计数问题：一个口袋内装有大小相同的8个白球和1个黑球，从口袋取出4个球，有多少种不同取法？

解法依据：对于，即从这9个球中直接取4个球，有种取法；

对于，即第一类为取4个白球，共种取法，

第二类为取3个白球，1个黑球，共种取法，

共种取法.

所以与为该问题的两个不同的解法.

16．在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.

(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；

(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.

【答案】(1)动点的轨迹的方程为；讨论过程见解析

(2)或或或

【分析】（1）根据题意列出斜率直接求解方程即可；根据的临界情况分类讨论即可；

（2）直线与椭圆方程联立得到韦达定理，进而利用弦长公式求出，根据三角形面积公式得到到直线距离为1，根据点到直线的距离列出方程，进而求解即可.

【详解】（1）设，

因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，

所以，即，

即动点的轨迹的方程为.

讨论的形状与值的关系如下：

当时，的形状为双曲线；

当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；

当时，的形状为圆；

当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；

（2）当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.

由题意知，直线斜率存在，

联立，则，

，

则，

所以，

所以，

设到直线距离为，直线

则，

所以，平方得，

代入上式得，则，

平方得，即，

所以，得，则，

则，所以，

此时成立，

所以直线的方程为，

即或或或.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题.根据动点到两定点斜率之积的定值为不同值时讨论可能的曲线形状；根据直线与椭圆方程的联立可以得到弦长进而列出等式求解.