2022-2023学年上海市虹口区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市虹口区高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为        .

【答案】/

【分析】利用两直线垂直的充要条件，列出关于的方程，即可求得答案．

【详解】直线与直线垂直，

，

解得．

故答案为：．

2．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有        种.

【答案】

【分析】将个医疗小组全排列即可.

【详解】依题意将个医疗小组全排列即可，即不同的分配方法共有种.

故答案为：

3．已知是正方体棱的中点，则直线与平面所成的角的大小等于        .

【答案】

【分析】根据线面角的定义计算求得正确答案.

【详解】连接，如图，

由于平面，

所以是直线与平面所成角，

设正方体的边长为，则，

所以，

所以直线与所成角为，

又平面平面，

所以直线与平面所成的角为.

故答案为：

4．若函数，则        ．

【答案】1

【分析】对函数进行求导，然后运用代入法进行求解即可.

【详解】.

故答案为：1

【点睛】本题考查导数的运算法则，考查了数学运算能力，属于基础题．

5．若，则正整数的值等于        .

【答案】

【分析】根据组合数的性质计算可得.

【详解】因为，即，

所以，解得.

故答案为：

6．棱长都是3的三棱锥的高等于        .

【答案】

【分析】利用高、侧棱及侧棱在底面的射影构成一个直角三角形，结合直角三角形的边的关系即可求得三棱锥的高.

【详解】如图，

设正三棱锥的顶点P在底面上的射影为，

则在直角三角形中，，

所以三棱锥的高，

故答案为：

7．已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为        .

【答案】

【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程求解作答.

【详解】依题意，直线的斜率，因为，因此直线的斜率为，直线过点，

所以直线的方程为.

故答案为：

8．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有        个.

【答案】

【分析】根据线面垂直的性质得到线线垂直，再由，即可得到平面，即可判断.

【详解】因为平面，平面，

所以，，，即、为直角三角形，

又，，平面，所以平面，

平面，所以，所以、也为直角三角形，

即以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形有个.

故答案为：

9．从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是        （结果用数字作答）

【答案】4

【分析】根据题意，用排除法分析：先分析从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点的取法，排除其中共面的情况，分析可得答案．

【详解】解：根据题意，从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点，有种取法，

其中共面，不能构成不同三棱锥的情况有1种，

则取出的四点能够构成不同三棱锥的个数是4；

故答案为：4．

10．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是           .

【答案】4

【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．

【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，半径为1，

根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 从而可得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小为 ，

故答案：4.

11．已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于        .

【答案】

【分析】如图建立平面直角坐标系，设的边长为，即可求出、、，从而求出、，即可求出离心率.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

因为是等边三角形，、分别是边和的中点，

所以，设的边长为，

则，即，，，

又，所以，

所以椭圆的离心率.

故答案为：

二、单选题

12．双曲线的两条渐近线的夹角等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.

【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，

由直线的斜率为，可得倾斜角为，

的斜率为，可得倾斜角为，

所以两条渐近线的夹角的大小为，

故选：B.

13．“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.

【详解】当，，则，

当时，，.

∴“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A

14．下列命题中正确的是（    ）

A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角

C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角

【答案】B

【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案.

【详解】对于A，终边相同的角可表示为，故A错误；

对于B，锐角的取值范围为，故B正确；

对于C，第二象限角的取值范围为，故C错误；

对于D，锐角的取值范围为，其，则，但不是锐角，故D错误.

故选：B.

15．下列说法正确的是（   ）

A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；

B．若，且与的方向相同，则

C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

D．若，则与方向相同或相反

【答案】B

【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断.

【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；

对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确；

对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；

对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.

故选：B.

16．已知为虚数单位，下列说法中错误的是（   ）

A．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则

B．互为共轭复数的两个复数的模相等，且

C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

D．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上

【答案】D

【分析】对于A，利用复数的几何意义及向量数量积的运算法则即可判断；对于B，利用共轭复数的定义与复数模的运算即可判断；对于C，利用复数模的定义即可判断；对于D，利用复数的几何意义与模的运算判断即可.

【详解】对于A，因为 ，所以，

则，即，则，故正确；

对于B，设，则，

所以，，，

所以，且，故B正确；

对于C，根据复数模的定义可知：复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故C正确；

对于D，设，若复数满足，

则，即，

复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故D错误.

故选：D.

三、解答题

17．若：

(1)当时，求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入计算可得；

（2）令求出，即可得解.

【详解】（1）因为，

令，可得.

（2）令可得，

所以.

18．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米.

(1)求几何体的体积；

(2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求.

【答案】(1)

(2)，该亭子满足建筑要求

【分析】（1）利用柱体，锥体的体积公式计算即可；

（2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可，再求出，即可判断．

【详解】（1）圆柱的体积，

圆锥的体积为，

几何体的体积；

（2）  

连接，，

根据题意可得，

为圆柱母线和圆锥母线所成的角，

，，，

，

圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小为．

又，

因为，所以，故该亭子满足建筑要求.

19．已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点.

(1)求点到直线的距离；

(2)若直线的斜率为，且，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由题意可得，，的坐标，求出直线的方程，再求到直线的距离；

（2）由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，所以，整理可得的值．

【详解】（1）椭圆：，则，，，

所以，，，

所以直线的方程为，即，

所以点到直线的距离.

（2）依题意直线的斜率存在，则直线的方程为，

由，消去整理可得，

则，即，

且，，

因为，所以，，，

即，

整理可得，

即，

即，

整理可得，

解得或，都符合，

所以的值为或．

20．如图所示的几何体中，四边形为正方形，.

(1)求证：∥平面；

(2)若，，平面平面.求平面与平面所成锐二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据题意可得，由线面平行的判定定理可得答案；

（2）取中点，以为原点，分别为z轴，x轴，y轴，利用向量法求二面角即可.

【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）取中点，过点作的平行线，

因为平面平面，平面平面，因为是等边三角形，

所以，平面，

所以平面，故两两垂直，

以为原点，分别为z轴，x轴，y轴，

所以，

所以，

设平面的法向量，

所以，即，

令，则，所以，

由题可知平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的平面角为.

21．如图所示的几何体中，四边形为正方形，.

(1)求证：平面；

(2)若，平面平面.若为中点，求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可得，由线面平行的判定定理可得答案；

（2）由面面垂直可得线面垂直，再由线面垂直的判定定理得出平面，即可得证.

【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）若，则为等边三角形，如图，

因为为中点，所以，

因为平面平面，平面平面，

，平面，

所以平面，又平面，

所以，又，，平面，

所以平面，又平面，

所以.

22．如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.

(1)证明:对任意的正整数，点都在抛物线：上；

(2)已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，且与抛物线交于另一点.记的面积为，试用解析法将表示为的函数，并求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）根据题意可得，由此可证；

（2）利用导数的几何意义表示出直线的方程，进一步表示出直线的方程，联立直线的方程与抛物线方程，根据根与系数的关系以及弦长公式可得’再利用导数求出其最值即可.

【详解】（1）如图，

由题意，，,

所以直线的方程为，直线的方程为，

联立，可得，

，

即对任意的正整数，点都在抛物线：上.

（2）如图，

由可得，则，

所以过的切线的斜率，

所以直线的方程为，即，

则直线：，所以与轴交于点，

由，令，可得，

联立可得，，

设， 则，，

令，则，

故当时，单调递减，当时，单调递增，

所以当时，.

23．如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为.若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.

(1)当时，求点的坐标；

(2)已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为.过点的直线与直线垂直，与抛物线交于另一点，且与轴交于点.若为等腰直角三角形，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可直接得到的坐标；

（2）利用导数的几何意义表示出直线的方程，进一步表示出直线的方程，再根据是等腰直角三角形求出、，即可得到直线、的方程，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，即可得解．

【详解】（1）当时，，，所以直线，

令，则，；

（2）由，得，则，所以，

所以直线的方程为，即，令，则，即，

则直线，令，解得，则，

又，

是等腰直角三角形，所以，解得，

又，解得或（舍去），

，

则直线，直线，，，

由，消去整理得，解得、，

则，

所以．