2022-2023学年上海市宜川中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市宜川中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．设集合，则           ．

【答案】

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据交集含义得，

故答案为：.

2．不等式的解集是           ．

【答案】

【详解】 ，即不等式的解集是

即答案为.

3．已知直线l经过点．直线l的倾斜角是           ．

【答案】/

【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可.

【详解】因为过两点的直线的斜率为：，

因为，是直线的倾斜角，且

所以直线的倾斜角为：．

故答案为：.

4．已知，且，则      ．

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系结合二倍角公式即可.

【详解】，，

，.

,

.

故答案为：.

5．设随机变量X服从正态分布，若，则           ．

【答案】

【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：.

6．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是        .

【答案】32.5

【分析】根据百分位数的定义计算得解.

【详解】由茎叶图知数据小到大排列为：，

因为，

所以第25百分位数是，

故答案为：

7．如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为         .

【答案】/

【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.

【详解】设圆锥的母线长为，

所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，

所以，所以圆锥的高.

故圆锥的体积为：.

故答案为：.

8．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：

若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为      ．

【答案】

【分析】求出样本中心点，再根据线性回归方程必过样本中心点求出，再将代入即可得解.

【详解】，

则，解得，

所以，

当时，，

即当气温为时该小区相应的用电量约为．

故答案为：.

9．已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于           .

【答案】

【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出，再由投影向量的定义求解即可.

【详解】，，

，

，

在方向上的投影向量为.

故答案为：

10．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为           ．

①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增；

③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值．

【答案】②④

【分析】根据给定的图象，求出或的的取值范围，再逐项判断作答.

【详解】观察图象知，当时，或，当时，或，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，①错误，②正确；

函数在处取得极大值，③错误；

函数在处取得极小值，④正确，

所以所有真命题的序号是②④.

故答案为：②④

11．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为        .

【答案】

【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.

【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，

A为双曲线上一点，，

B为双曲线上一点，则 ，即，

∴

由，则，已知，

在△F1AF2中应用余弦定理得：，

得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝

故答案为：

【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于 或的方程，从而得到离心率的值.

12．若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是            ．

【答案】

【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.

【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．

由时，；得其关于原点对称后的解析式为．

问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，

化简得，即与在上有两个交点．

对于，求导，令，解得：，

即：当时，单调递增；

令，解得：．

即：当时，单调递减，

∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：

欲使与在时有两个交点，则，即．

二、单选题

13．若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.

【详解】直线与直线垂直，

则，解得，

故选：B.

14．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.

【详解】展开式的通项为：；

当时，展开式的第项为常数项，充分性成立；

当时，展开式中存在常数项，如，必要性不成立；

“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.

故选：A.

15．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.

【详解】4次均不是绿灯的概率为，

3次不是绿灯的概率为，

∴至少遇到2次绿灯的概率为.

故选：D.

16．已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）

A．     B．  

C．   D．  

【答案】B

【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解．

【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内，

导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减，

所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭，

在区间,内越来越平缓，故选项符合题意．

故选：B．

三、解答题

17．如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边的判定及性质，结合线面平行的判定定理即可求解；

（2）根据已知条件、面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的平面角的定义及向量夹角的关系即可求解.

【详解】（1）连接，

因为、分别为、的中点，

所以且，

又因为，且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，

又平面平面,平面，

所以平面，

又平面，

所以，

所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，如图所示

则，，,．

所以，，

由题意知，平面的法向量，

设平面的法向量，则

，即，

令，则，所以，

设平面与平面所成锐二面角为，则

，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

18．已知向量，，函数.

(1)设，且，求的值；

(2)在中，，，且的面积为，求的值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）化简得到，代入数据得到，得到，根据范围得到答案.

（2）确定，根据面积公式得到，根据余弦定理得到，得到，再根据正弦定理得到答案.

【详解】（1）.

，得，

故，，故或.

（2）， 由（1）知，

在中，设内角、的对边分别是，则，故.

由余弦定理得，故.

解得 或，于是，

由正弦定理得 ，故.

19．在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)求频率分布直方图中实数的值；

(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.

【答案】(1)，

(2)

(3)分布列详见解析，数学期望为

【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.

（2）根据古典概型的知识求得所求概率.

（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.

【详解】（1）.

，解得.

（2）已知抽取的学生有男生，

则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.

（3）每天学习时间在和的学生比例为，

所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.

再从这8人中选3人进行电话访谈，

抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，

，

，

，

所以的分布列如下：

数学期望.

20．已知抛物线：．

(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程；

(2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；

(3)已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线的焦点，准线.

(2)20

(3)存在，

【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线；

（2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算；

（3）设直线MN，联立方程，根据题意可得，结合韦达定理分析运算.

【详解】（1）∵抛物线：，则，且焦点在轴正半轴，

故抛物线的焦点，准线.

（2）由（1）可得：，可得直线，

设，

联立方程，消去y得，

可得，

故.

（3）存在，理由如下：

设直线，

联立方程，消去x得，

则，

可得，

若以线段MN为直径的圆恒过点P，则，

可得

，

可得或，

若，则，可得直线，

过定点，与点重合，不合题意；

若，则，此时，

可得直线，过定点；

综上所述：直线过定点.

【点睛】方法定睛：存在性问题求解的思路及策略

(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．

(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．

21．已知函数.（其中为常数）

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的最小值；

(3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)只有1个，理由见解析

【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程；

（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；

（3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.

【详解】（1）解：当时，可得，

可得，所以且，

所以切线方程为，即，

即曲线所以曲线在点处的切线方程为.

（2）解：由函数，可得函数的定义域为，

又由，令，解得，，

当时，与在区间的情况如下表：

所以函数的极小值为，也是函数的最小值，

所以当时，函数的最小值为

（3）解：当时，，令，解得（舍去）

所以函数在上有一个零点；

当 时，与在区间的情况如下表：

所以函数在单调递增，在上单调递减，

此时函数的极大值为，

所以函数在上没有零点；

又由且函数在上单调递增，

且当时，，

所以函数在上只有一个零点，

综上可得，当时，在上有一个零点.

【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.