上海市格致中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

格致中学2022学年第二学期高二年级数学期中

2023.4

一、填空题：（本题共有12个小题，每小题4分，满分48分）

1．抛物线的焦点坐标为_________．

2．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6∶5∶4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取_________人．

3．直线与直线平行，则_________．

4．直线x=1与直线的夹角大小为_________．

5．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为_________．

6．某动漫手办厂推出一款新产品“手办盲盒”，该厂为“套路”顾客，将6个“手办”装成一箱，且每箱均有2个稀有手办。若某同学从一箱中随机购买2个盲盒，则能买到稀有手办的概率为_________．（结果用最简分数表示）

7．若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是_______．

8．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，则弦AB的中点到y轴的距离为_________．

9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方容器，容器高8cm，将一个球放置在容器口，再向容器注水，当球面接触水面时，测得水深为6cm，若不计容器的厚度，则球的表面积为_________．

10．设，为双曲线的两个焦点, P，Q为上关于坐标原点对称的两个点，且满足，则四边形的面积为_________．

11．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB=BC=CD=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．

12．若是圆O：上的任意一点，则的取值范围是_________．

二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）

13．若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

14．已知平面两两垂直，直线a、b、c满足：，，，则直线a、b、c位置关系不可能是（    ）

A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面

15．曲线上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（    ）

A． B． C． D．

16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且，则该椭圆的离心率为（    ）

A．    B．    C．     D．

三、解答题：（本题共有4大题，满分36分。解题时要有必要的解题步骤）

17．（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题4分，满分8分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（1）求取出的4个球均为黑球的概率．

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．

18．（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题4分，满分8分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB．

（1）求证：直线BD⊥底面PAC；

（2）求直线PC与平面PBD所成的角的大小．

19．（本题共2小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，满分10分）

如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．

（1）当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；

（2）当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由

20．（本题共3小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分，满分10分）

已知椭圆的长轴长为，离心率为．直线l与椭圆有两个不同的交点A、B．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l的方程为：，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；

（3）设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D．若点C、D和点三点共线，求直线l的斜率值．

参考答案

一、填空题

1.（-1，0）  2.16   3.  4.   5.   6.   7.   8.

9.    10.16   11.  12.

11．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB=BC=CD=2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．

【答案】

【详解】设所求双曲线方程为:,,则根据题意可得,点在双曲线上,所求曲线方程为

12．若是圆O：上的任意一点，则的取值范围是_________．

【答案】

【详解】
表示圆上任意一点到直线和:距离之和的5倍,如图,

,,

所以,,

故的取值范围是,故答案为:.

二、选择题

13．C    14. B    15. B    16. D

15．曲线上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】根据平面几何切割线定理:从圆外一点做圆的切线和割线,则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项.鉴于此,从原点作该半圆的切线,切线长为:
设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是和,则,且

所以;所以,当,则;当时,
考查四个选项,只有选项不符合上述范围故选.

16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且，则该椭圆的离心率为（    ）

A．．  B．    C．     D．

【答案】D

【详解】连接,,由题意可知,三点共线,,三点共线,

在中,因为,且,

可得,,

设,可得,由椭圆的定义可知

又因为,即,解得,

所以,,
在Rt中,,即,
可得,故选:.
三、解答题

17.（1）；（2）    18.（1）略；（2）    19.（1）2 ；（2）不存在

20．（1）；（2）； （3）

19．如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．

（1）当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离；

（2）当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由

【答案】2

【详解】(1)双曲线,焦点在轴上,,则双曲线左、右焦点分别为,,
过作直线,设直线的斜率为交轴于点.当直线平行于的一条渐近线时,

不妨令则直线的方程为:,即,
则点到直线的距离为;
20.已知椭圆的长轴长为，离心率为．直线l与椭圆有两个不同的交点A、B．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l的方程为：，椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；

（3）设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D．若点C、D和点三点共线，求直线l的斜率值．

【答案】（1）；（2）； （3）2

【详解】（1）由椭圆的长轴长为,离心率为,

可得,即,又,解得,则，

则椭圆的方程为:
(2)联立可得,由,

可得.设,则,,

解得,即,又在椭圆上,可,解得舍去或,则;