2020-2021学年上海市格致中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市格致中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（    ）

A．MN B．MN C．M=N D．

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件可直接判断.

【详解】α是β的必要非充分条件，

.

故选：B.

2．若且，则实数m、n满足的关系式为（    ）

A．0<m<n<1 B．0<n<m<1 C．0<m<1<n D．1<m<n

【答案】C

【分析】由得，由得或，结合可得答案.

【详解】由得，

由得，即，，

，因为，所以，，

所以，得或，

即或，而，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了由对数运算的性质比较大小，关键点是由得或，考查了对数的基本运算，属于基础题.

3．设都是非零实数，不等式的解集为A，不等式的解集为B，则""是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】若，分析可得，不能推出成立，若，设，代入方程，化简整理，可得两不等式相等，则解集，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】若，只需满足，不能得到，

若，设，即，

所以不等式可化为

因为，所以，所以两不等式相等，则解集.

所以""是“”的必要非充分条件.

故选：B

4．定义在R上的函数y=f(x)的表达式为给出下列3个判断:

(1)函数y=f(x)是非奇非偶函数；

(2)当a<0且a∈Q时，方程f(x)=a无解；

(3)当a>0时，方程f(x)=a至少有一解；

其中正确的判断有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】根据函数的的奇偶性的定义，可判定（1）正确；根据且，结合，可判定（2）正确；根据方程，无解，可判定（3）不正确.

【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点是对称的，

当，则，可得，此时函数为偶函数；

当，则，可得，此时函数为奇函数，

综上可得，函数为非奇非偶函数，所以（1）正确；

由函数，可得时，，时，

当且，方程，

若时，此时方程无解；

若时，由，可得，因为，，所以方程无解，

综上可得当且，方程无解，所以（2）正确；

例如：当时，

当时，由，可得，解答，不符合题意；

当时，由，可得，不符合题意，

综上可得，当时，方程无解，所以（3）不正确.

所以正确为（1）（2）.

故选：C

二、填空题

5．已知集合，，则_____.

【答案】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】由，可得，解得，则，

又因为，因此，.

故答案为：.

6．函数的定义域为_____.

【答案】

【分析】由解析式得出，解出即可.

【详解】，

，解得且，

的定义域为.

故答案为：.

7．若指数函数的图象经过点，则函数的零点为_____.

【答案】

【分析】设（且），由可求得的值，然后解方程即可得解.

【详解】设（且），则，解得，，

解方程，即，可得，解得.

因此，函数的零点为.

故答案为：.

8．不等式的解集为_____.

【答案】

【分析】首先将不等式等价于，再分类讨论解不等式即可.

【详解】不等式，因为，所以.

当时，，解得.

当时，，无解.

所以不等式的解集为.

故答案为：

9．已知，用表示_____.

【答案】

【分析】由换底公式可得出，进而利用换底公式可将用加以表示.

【详解】，，

所以，.

故答案为：.

10．函数是减函数，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.

【详解】由于指数函数是减函数，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为.

【点睛】本题考查利用指数函数的单调性求参数，同时也考查了对数不等式的求解，解题时要了解底数的取值范围与指数函数单调性之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.

11．定义区间[a，b](a<b)的长度为b-a，若关于x的不等式.的解集区间长度为2，则实数m的值为_____.

【答案】3

【分析】设是方程的两个根，由可求.

【详解】设是方程的两个根，

则，

，解得.

故答案为：3.

12．设的算术平均值为1，则的几何平均值的最小值为________________.

【答案】4

【分析】由的算术平均值为1得为定值，再由基本不等式得的几何平均值的最小值.

【详解】因为所以，又的算术平均值为1，则，所以，即；因为的几何平均值是，由基本不等式得，当x=y=2时取等号，所以的几何平均值的最小值为4，

故答案为：4

13．已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且是(-∞，0)上的严格减函数，若f(1)=0，则满足不等式(x-1)f(x)≥0的x的取值范围为_______.

【答案】

【分析】由数形结合分类讨论和即可求解.

【详解】如图所示：

因为函数y=f(x)是R上的奇函数，故，由于故

当时，，所以 ；

当时，，所以；综上所述x的取值范围

故答案为：

14．已知当x∈(-1，0)∪(0，1)时，不等式恒成立，则满足条件的a形成的集合为_____.

【答案】

【分析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求得结果.

【详解】令，由可知，幂函数的图象在的图像上方，如果函数为奇函数，则第三象限有图象，所以不是奇函数，故不符合；

由于，所以整理得 ，所以得，故 不符合；所以即 ，

故答案为：

15．函数y=f(x)(x<0)的反函数为且函数是奇函数，则不等式的解集为_____.

【答案】

【分析】由函数的奇偶性结合反函数的性质得出，，再解指数不等式得出解集.

【详解】当时，则，

即，

由，解得，由，解得

即，

不等式可化为，解得

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题关键是运用函数的奇偶性结合反函数的性质得出的反函数解析式，最后解不等式得出解集.

16．已知函数若函数有4个零点，则实数m的取值范围为_____.

【答案】

【分析】令，画出的函数图象，可得，得出在有2个解，即可求出.

【详解】令，要使有4个零点，则有2个解，

画出的函数图象，

则观察图形可知，，

则有4个零点等价于在有2个解，

则，解得，

所以m的取值范围为.

【点睛】本题考查函数与方程的应用，解题的关键是利用的函数图象得出在有2个解.

三、解答题

17．已知集合，不等式的解集为.

（1）用区间表示；

（2）若全集，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）解分式不等式，得其解集，进而可将集合用区间加以表示；

（2）求出集合、，由可得出，可得出关于实数的不等式组，进而可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解不等式，即，解得或，

因此，；

（2）解不等式，可得，解得，，

由于，，则，

因为，可得，所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

18．已知a、b都是正实数，且

（1）求证:a>1；

（2）求b的最小值.

【答案】（1）答案见解析；（2）时，b的最小值为4.

【分析】（1）把b用a表示,根据a、b都是正实数可证明a>1;

（2）由可得,利用基本不等式可出b的最小值

【详解】（1）

又a、b都是正实数, ∴

.

即证.

（2）

令,则

当且仅当,即时取最小值.

所以时，b的最小值为4.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

19．设函数y=f(x)的表达式为其中a为实常数.

（1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）设a>0，函数在区间(0，a]上为严格减函数，求实数a的最大值.

【答案】（1）当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；（2）1.

【分析】（1）利用奇偶性的定义，讨论和即可；

（2）利用单调性的定义得出，进而得出即可求出.

【详解】（1）可得的定义域为，关于原点对称，

，

当时，，则为偶函数，

当时，且，则为非奇非偶函数；

（2）当，，

任取，

则，

，且，

在区间(0，a]上为严格减函数，，

即恒成立，，解得，

a的最大值为1.

【点睛】思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：

（1）在定义域内任取；

（2）计算并化简整理；

（3）判断的正负；

（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.

20．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.

（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；

（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）若，分析和可得答案；

（2）集合S的元素都是整数，利用已知得到非空集合S是所有整数构成的集合.然后再由，， 得到，且可得答案.

【详解】（1）能，理由如下：

若，且，由题意知的所有整数倍的数都是中的元素，所以是无限集；若，且，则，符合题意，且是有限集，所以集合S能为有限集，即.

（2）证明：

因为非空集合S的元素都是整数，且,

由，，所以，所以，

所以，，，，

，，，，

所以非空集合S是所有整数构成的集合.

由，，所以，因为，

所以，，， ，

所以2的所有整数倍的数都是中的元素，

即，

且，所以也是集合中的元素，

即，

，

综上所述，.

【点睛】本题考查对集合性质的理解，关键点是理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.