2022-2023学年上海市格致中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市格致中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．若点是角终边上的一点，且，则的值是______.

【答案】

【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断.

【详解】由题意可得：，且，

解得或（舍去），

所以的值是.

故答案为：.

2．复数的共轭复数的模是______.

【答案】

【分析】现根据复数的除法运算花间，再根据共轭复数的定义及复数的莫的计算公式即可得解.

【详解】，

则复数的共轭复数为，模为.

故答案为：.

3．函数的定义域为________.

【答案】

【解析】由表达式可得：，结合余弦函数图象可得结果.

【详解】解：由表达式可得：，即，

∴，

函数的定义域为，

故答案为：

【点睛】本题考查余弦型复合函数的定义域，考查三角不等式的解法，属于基础题.

4．在中，，，若点满足，则________.

【答案】

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可

【详解】因为，所以－＝(－)，即＝＋，

故

故答案为：

5．如果，那么______．

【答案】i

【分析】结合复数除法、乘方运算求得正确答案.

【详解】因为，故，

所以，故，，

故.

故答案为：

6．已知向量，点，向量与方向相同，且，则点的坐标为______．

【答案】

【分析】设出点的坐标，结合题意列出方程组，解出方程组即可求解.

【详解】设，则，

因向量与方向相同，且，

所以，

计算得，因此点的坐标为.

故答案为：.

7．若复数是纯虚数,则=______.

【答案】

【详解】试题分析：

【解析】本题主要考查复数的概念、已知三角函数值求角．

点评：综合题，纯虚数即复数的实部为0且虚部不为0.

8．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则__．(结果用数值表示)

【答案】

【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.

【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，

所以，所以，

则．

故答案为：

9．在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可.

【详解】由三角形可得，解得，

若该三角形为钝角三角形，注意到，

则角为钝角或角为钝角，可得或，

即或，解得或，

故边的取值范围是.

故答案为：.

10．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为______.

【答案】/

【分析】根据题意结合周期性和奇偶性分析运算.

【详解】由题意可得.

故答案为：.

11．设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，

则的最大值等于________．

【答案】2

【分析】由题意，可得，，从而可得当时，；当时，，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案．

【详解】解：，为单位向量，和的夹角等于，

，

当时，则；

非零向量，

，

当时，

，

故当时，取得最大值为2，

综上，取得最大值为2．

故答案为：2．

12．某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：

①函数的图象是轴对称图形；

②函数对定义域中任意的值，恒有成立；

③函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两个交点间的距离相等；

④对于任意常数，存在常数，函数在上严格单调递减，且；

⑤当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点.

其中结论正确的序号是______.

【答案】①②④

【分析】分析函数的奇偶性，可判断①；利用三角函数线以及正弦型函数的有界性可判断②；取函数与轴的三个相邻交点、、，可判断③；取，，可判断④；取，数形结合可判断⑤.

【详解】对于①，函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，①对；

对于②，当时，如下图所示：

在单位圆中，设，过点作轴，垂足为点，

则，，，即，可得，则，

当时，，

又因为函数为偶函数，故对定义域内的任意实数，，②对；

对于③，由可得，即，

取函数与轴的三个相邻交点、、，

点、之间的距离为，点、之间的距离为，③错；

对于④，当时，函数、在上均为减函数，

且当时，，，

对于任意常数，存在常数，且，使得，

当、时，，即，

，即，所以，，

所以，函数在上严格递减，

取，，则，④对；

对于⑤，由④可知，函数在上单调递减，且，

作出函数的图象如下图所示：

取点，当点在直线上，，可得，

结合图象可知，直线与函数的图象至少两个交点，⑤错.

故答案为：①②④.

二、单选题

13．设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限  D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的几何意义求出，即可得出向量的复数在复平面上所对应的点所在象限.

【详解】复平面上表示和的点分别为点A和点B，

则，所以，

所以向量的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.

故选：A.

14．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】若，令，满足，但；

若，则一定成立，

所以“ ”是“”的必要不充分条件.

故选：B

15．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点

【答案】D

【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.

【详解】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.

对A，因为，即，A错误；

对B，因为，所以B错误；

对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；

对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.

故选：D.

16．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

【答案】B

【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.

【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+

.

故选B.

【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

(1)若，且的面积，求a，b的值；

(2)若，判断的形状．

【答案】(1)；

(2)是直角三角形或等腰三角形.

【分析】（1）根据余弦定理可得，由三角形面积得到，进而即得；

（2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到，求出或，进而可得出结果.

【详解】（1）因为，又余弦定理可得：，

即，

又的面积，

所以，因此，；

解得：；

（2）因为，

所以，

即，

所以或，

因此或，

所以是直角三角形或等腰三角形.

18．已知关于的方程的一个根为.

(1)求方程的另一个根及实数的值；

(2)是否存在实数，使时，不等式对恒成立？若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，4

(2)存在，实数的取值范围为

【分析】（1）根据题意结合复数的运算求解；

（2）根据题意分析可得，结合对数函数、一次函数分析运算即可.

【详解】（1）因为是方程的一个根，则，

解得，

可得方程，整理得，

所以，即，

故方程的另一个根为.

（2）由（1）可知：，则，

因为，当且仅当时，等号成立，

且在定义域内单调递增，可得，

所以，

整理得对恒成立，则，

解得，

故当时，满足题意，即实数的取值范围.

19．已知向量，，.

(1)求和；

(2)若函数的最小值为，求实数的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据向量的坐标运算求解；

（2）由（1）可得，换元，结合二次函数分类讨论运算求解.

【详解】（1）由题意可得：，

且，

因为，则

所以.

（2）由（1）可得：，

令，

可得开口向上，对称轴，

注意到，则有：

若，即时，则当时，取到最小值，不合题意；

若，即时，则当时，取到最小值，

解得或（舍去）；

若，即时，则当时，取到最小值，

解得（舍去）；

综上所述：.

20．在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画.其中，正整数表示月份且，例如时表示1月份，A和是正整数，.

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；

②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.

【答案】(1)

(2)第月是该地区的旅游旺季

【分析】（1）根据题意结合余弦函数分析运算即可；

（2）令，结合余弦函数分析运算，注意为正整数.

【详解】（1）因为A和是正整数，

由②可得：，解得；

由③可得：且，则，且，解得；

且，解得；

所以.

（2）令，则，

因为，则，

可得，解得，

且，则，

所以第月是该地区的旅游旺季.

【点睛】方法点睛：函数y＝Acos(ωx＋φ)的解析式的确定

（1）A由最值确定；

（2）ω由周期确定；

（3）φ由图象上的特殊点确定．

提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．