2022-2023学年甘肃省武威市凉州区高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省武威市凉州区高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．函数在区间上的平均变化率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平均变化率的定义即可求得本题答案.

【详解】因为，所以，

所以在区间上的平均变化率.

故选：B

2．已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解.

【详解】因为点，

所以点A关于原点的对称点的坐标为，

故选：D

3．函数在点处切线的斜率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义求切线斜率.

【详解】由题设，则，

所以处切线的斜率为2.

故选：D

4．空间两点，之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间两点间距离公式进行求解.

【详解】.

故选：B.

5．给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤.

其中正确的导数式共有（  ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】A

【分析】由初等函数的导数公式求各项对应函数的导函数，即可判断它们的正误.

【详解】由，①正确；

由，②错误；

由，③正确；

由，④错误；

由，⑤错误；

正确的共有2个.

故选：A

6．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ）

A．－6 B．6

C．3 D．－3

【答案】B

【分析】由和的数量积为0，解出k的值.

【详解】由题意可得，，，

所以，即2k－12＝0，得k＝6.

故选：B.

7．如图，在四面体OABC中，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量基本定理求解出，从而求出.

【详解】因为，所以，

又，所以．

故选：D

8．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据单调性与导数的关系判断．

【详解】由题意，知的解集即的单调递减区间，

故的解集为．

故选：A．

二、多选题

9．一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则（    ）

A．该质点在前2秒内的平均速度为24m/s

B．该质点在第1秒的瞬时速度为12m/s

C．该质点在第2秒的瞬时加速度为

D．该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒

【答案】BCD

【分析】A首先求出2秒内的位移，即可得平均速度；B利用导数求第1秒的瞬时速度；C、D应用二阶导数的物理意义判断.

【详解】因为该质点在前2秒内的位移为，该质点在前2秒内的平均速度为12m/s， A错误．

因为，所以该质点在第1秒的瞬时速度为， B正确．

设，则，

所以，即第2秒的瞬时加速度为，C正确；

当时取得最小值，D正确．

故选：BCD

10．已知函数，则（    ）

A．的极小值为2

B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心

D．直线是曲线的切线

【答案】CD

【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.

【详解】，，

令，解得：或，

时，，单调递增；

 当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

的极小值为：，

的极大值为：，

有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误；

对C，若点是曲线的对称中心，则有，

将函数代入上式验证得：

，故C正确；

对于D，，解得：，

当时，， 切线方程为：，即，故D正确.

故选：.

11．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）．

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若，则是钝角

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若对空间中任意一点，有，则四点共面

【答案】AC

【分析】根据空间向量共面的性质判断选项A；利用向量夹角的取值范围判断选项B；根据基底的定义判断选项C；根据空间向量共面的充要条件判断选项D．

【详解】选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；

选项B，若，则是钝角或者，错误；

选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；

选项D，对空间中任意一点，有，

，四点不共面，错误；

故选：AC

12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）

A． B．

C． D．为平面的一个法向量

【答案】BC

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、

、、、.

对于A选项，，，则，A错；

对于B选项，，，则，B对；

对于C选项，，故，C对；

对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D错.

故选：BC.

三、填空题

13．已知向量 ， 若 ，则实数        ．

【答案】

【分析】利用列方程，即可求解.

【详解】因为向量，且，

所以，

解得：.

故答案为：.

14．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是        ．(填“平行”或“相交”)

【答案】相交

【分析】通过平面的法向量和直线的方向向量的特征，利用向量与的数量积判断两向量是否垂直，进而可得到直线与平面的位置关系.

【详解】因为，，

所以，

从而直线与平面不平行且，

故直线与平面相交.

故答案为：相交.

15．函数在点处的切线的方程为           .

【答案】

【分析】求出，求导，得到即切线斜率，用点斜式求出切线方程，化为一般式即可.

【详解】，，，

所以在点处的切线的方程为：，

整理得：

故答案为：

16．设，则满足在上恒正的是          .（填写序号）

①；②；③；④.

【答案】①③

【分析】求导，根据题意逐项分析运算.

【详解】对①：，则，

故在上恒成立，①成立；

对②：，则，

故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；

对③：，则，

故在上恒成立，③成立；

对④：由，解得，

故的定义域为，

则，故在上恒成立，④不成立；

故答案为：①③.

四、解答题

17．在中，已知，，且，，求，.

【答案】，

【分析】利用转化法，结合平面向量的数量积运算法则即可得解.

【详解】在中，，，且，，

所以，，，

故，则，

，则.

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程．

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；

（2）利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.

【详解】（1）由已知，

则，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

（2）令，得或，

令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以在区间上的最大值为，最小值为.

19．已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.

(1)求直线的一个方向向量；

(2)证明：平面.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据空间点的坐标即可得向量坐标，进而根据方向向量的定义即可求解，

（2）根据平面法向量和直线方向向量垂直，即可求值.

【详解】（1），

因此,则直线的一个方向向量为，

（2）平面，

平面,则 ，

又因为,,平面,故平面，

因此取平面的法向量为，

由于则，而平面，因此//平面.

20．设函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最小值.

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答.

【详解】（1）函数，求导得：，则有，而，

于是得，即，

所以曲线在点处的切线方程是.

（2）函数，求导得：，

当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，.

21．如图，在正方体中，为棱的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明，可得出平面；

（2）结合（1），平面的法向量是，然后求出平面的法向量，进而可证明，从而可知平面平面.

【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，

所以，，，，

设平面的法向量，

则，取，得．

因为，所以，所以平面；

（2）设平面AEC的法向量，

则，取，得，

，

平面平面.

【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于基础题.

22．已知函数.

(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，列出方程，求解即可得出答案；

（2）根据的范围讨论，求出导函数，根据导函数的符号即可得出函数的单调区间.

【详解】（1）由已知可得，.

根据导数的几何意义可知，，即，所以.

（2）由（1）知，，的定义域为.

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，由可得，.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

综上所述，当时，则在上单调递增；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.