2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D. 或 

2. (    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 函数的定义域是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知点的极坐标为，则点的直角坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏，首先老师将三只冬奥会吉祥物冰墩墩进行了、、三个数字的标号，然后将它们放入不透明的箱子中，甲、乙、丙三名同学分别进行抽取，并将抽到的冰墩墩的标号告知老师，老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法：
    甲抽取的是号冰墩墩；
    乙抽取的不是号冰墩墩；
    丙抽取的不是号冰墩墩．
    若三种说法中只有一个说法正确，则抽取号冰墩墩的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判定

12. 已知函数，则函数的零点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若实数，满足，则的最大值为______．
14. 已知函数对于任意实数满足若，则______．
15. 在极坐标系中，已知点，，则______．
16. 为了对，两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型分别计算出甲模型的相关指数为，乙模型的相关指数为，则______填“甲”或“乙”模型拟合的效果更好．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，求的最小值；
    已知，是正实数，且，求的最小值．
18. 已知指数函数且，过点．
    Ⅰ求的解析式；
    Ⅱ若，求实数的取值范围．
19. 已知函数．
    若函数在是增函数，求的取值范围；
    若对于任意的，恒成立，求的取值范围．
20. 某科研团队对例新冠肺炎确诊患者的临床特征进行了回顾性分析．其中名吸烟患者中，重症人数为人，重症比例约为；名非吸烟患者中，重症人数为人，重症比例为．
    根据以上数据完成列联表；

根据中列联表数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关？附：

．

21. 已知函数．
    求曲线在点处的切线的斜率；
    求函数的单调区间与极值．
22. 在平面直角坐标系中，已知直线为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求曲线的直角坐标方程；
    设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由已知结合复数的四则运算即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，，，定义域关于原点对称，，为偶函数，A错误；
对于，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，
，在上单调递增，B正确；
对于，，非奇非偶函数，C错误；
对于，，，定义域为关于原点对称，，所以为奇函数，，在，上单调递减，D错误．
故选：．
根据基奇偶性与单调性的定义逐一判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
利用对数的运算法则求解．
本题考查对数的运算法则，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为在上单调递增，且，
所以，即，
又因为，
所以．
故选：．
根据对数函数的单调性比较大小即可．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，命题“，”是全称命题，
其否定是“，”．
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，即，
解可得：或，即不等式的解集为或，
故选：．
根据题意，由一元二次不等式的解法分析的答案．
本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
利用导数的运算法则求得解析式，代入数据，即可得答案．
本题考查导数的运算法则，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．
根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．

【解答】

解：要使函数有意义，则，
得，得，即函数的定义域为，
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，点的极坐标为，
则有，，
故其直角坐标为；
故选：．
根据题意，由极坐标和直角坐标的关系，分析可得答案．
本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及极坐标的定义，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：若正确，则甲抽取的是号冰墩墩，乙抽取的是号，丙抽取的是号，所以也正确，故说法不正确；
若正确，则丙抽取的是号，乙抽取的是号，甲抽取的是号，成立．
故选：．
分别假设正确，正确时，甲乙丙三人抽取的号码，若无矛盾，则可得解．
本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，当时，解得或．
在同一直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，
观察可知，与有个交点，与有个交点，
则的零点个数为，

故选：．
令，当时，解得或在同一直角坐标系中分别作出，，的图象，利用数形结合求解的零点个数即可．
本题考查函数的零点与方程根的关系，零点个数的判断，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最大值．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数对于任意实数满足，函数的周期为，
则，
故答案为：．
根据题意，有，即可得答案．
本题考查函数周期性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，点，，
则，，
则，即，
则，
故答案为：．
根据题意，由极坐标的定义可得，，，即，由勾股定理计算可得答案．
本题考查极坐标系的应用，涉及两点间距离的计算，属于基础题．
 

16.【答案】甲 

【解析】解：，
又相关系数的绝对值越接近，表明拟合效果越好，
甲模型拟合的效果更好．
故答案为：甲．
根据已知条件，结合相关系数的性质，即可求解．
本题主要考查相关系数的性质，属于基础题．
 

17.【答案】解：，，，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
，，，可得，
．
当且仅当，即，时取“”号．
即的最小值为． 

【解析】由，利用基本不等式即可求解最小值；
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ指数函数且，过点，
则，解得，
所以；
Ⅱ由可知，，则在上为单调递增函数，
不等式，等价于，
所以，解得，
所以实数的取值范围为． 

【解析】Ⅰ将点的坐标代入解析式，求出的值，即可得到答案；
Ⅱ确定函数的单调性，然后将不等式变形为，利用单调性去掉“”，求解即可．
本题考查了函数解析式的求解，函数与不等式的应用，解题的关键是利用函数的单调性去掉“”，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为函数，所以对称轴为，
因为在是增函数，所以，解得，
即的取值范围是；
因为对于任意的，恒成立，
即在时恒成立，所以在时恒成立，
设，则对称轴为，即在时恒成立，
当，即时，，解得；
当，即时，，解得舍去，
故，
所以的取值范围是 

【解析】由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解；
整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解．
本题考查了二次函数的单调性和不等式的恒成立问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：名吸烟患者中，重症人数为人，轻症人数为人，
名非吸烟患者中，重症人数为人，轻症人数为人，
故列联表如下：

，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为新冠肺炎重症与吸烟有关． 

【解析】根据已知条件，即可直接求解列联表．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：因为，所以，
因此曲线 在点处的切线的斜率为；
令，解得或．

所以在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且；
综上，的单调递增区间为，
单调递减区间为，，极小值为，极大值为． 

【解析】求导，求出即为切线斜率，然后求出切线方程即可；
求导，列出表格，得到单调区间和极值．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
 

22.【答案】解把，展开得，两边同乘．
将，，代入，
即得曲线的直角坐标方程为，
将代入式，
得，点．
设，为方程的两根，则；
则由参数的几何意义，
得． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．