2022-2023学年甘肃省临夏州临夏县中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省临夏州临夏县中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为，则当x由1增长到3时，y的平均变化率为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据平均变化率的定义计算可得答案．

【详解】解：因为某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为，

所以当x由1增长到3时，y的平均变化率为．

故选：B．

2．设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（    ）

A．30° B．135° C．45° D．120°

【答案】B

【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解．

【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，

由，可得，

则曲线在处的斜率为，

则，，解得，

故选：B．

3．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数有3个极值点

B．函数在区间上是增加的

C．函数在区间上是增加的

D．当时，函数取得极大值

【答案】C

【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，，函数单调递增，，函数单调递减，结合图像即可判断函数的单调区间及极值.

【详解】结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.所以D错误；

故函数有2个极值点，所以A错误；

函数的单调性为：单增区间；单减区间.故B错误，C正确.

故选：C.

4．已知是函数的导函数，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.

【详解】，，解得：，

，.

故选：B.

5．已知没有极值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数与极值的关系以及二次函数进行求解.

【详解】由得，

根据题意得，解得．故A，B，D错误.

故选：C.

6．空间两点A，B的坐标分别为，则A，B两点的位置关系是（    ）

A．关于x轴对称 B．关于平面对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称

【答案】C

【分析】根据A，B两点坐标之间的关系直接判断即可得解.

【详解】因为点A，B的横纵坐标互为相反数，它们的竖坐标相同，

所以点A，B关于z轴对称.

故选：C.

7．已知在平行六面体中，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用向量线性表示出，然后求出即可.

【详解】设,，，则，

，

又因为，

所以，则.

故选：.

8．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的导数，然后分析单调性，得出正确答案即可.

【详解】设总利润为（） ，（），

令，可得，当时，,当时，，

故当时，取得最大值.

故选：D.

【点睛】本题考查利用导数求最值的问题，解题关键是正确求出导数，从而得出单调性，属于常考题.

二、多选题

9．下列求导正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.

【详解】对于，的导数为，故选项正确；

对于，的导数为，故选项错误；

对于，的导数为，故选项错误；

对于，的导数为，故选项正确，

故选：AD.

10．已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A．函数的极大值为，极小值为

B．当时，函数的最大值为，最小值为

C．函数的单调增区间为

D．曲线在点处的切线方程为

【答案】AD

【分析】先求导，由导数的几何意义及求解函数的单调区间，求极值和最值，根据选项一一判断.

【详解】因为，所以，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，C不正确；

所以的极大值为，极小值为，A正确；

因为在上单调递增，

所以函数的最大值为，最小值为，B错误；

又，所以切线的斜率为，故切线方程是，即，D正确.

故选：AD.

11．如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可.

【详解】A：，因此本选项正确；

B：，因此本选项正确；

C：，因此本选项不正确；

D：，因此本选项不正确，

故选：AB

12．已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.

【详解】由导函数图像可得：

当时，，即函数在上单调递增；

当时，，即函数在上单调递减；

当时，，即函数在上单调递增；

故BCD错误，A正确.

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.

三、填空题

13．设函数，若，则        ．

【答案】1

【分析】求导，由列出方程，求出答案.

【详解】由题意知，由，解得．

故答案为：1

14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】先计算，在借助导数得，即可求解切线方程.

【详解】,

又，，

故切线方程为，即，

故答案为：.

15．年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为      ．

【答案】

【分析】利用导数的定义可求得该运动员在时滑雪瞬时速度.

【详解】，

所以，该运动员的滑雪瞬时速度为.

故答案为：.

16．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为           .

【答案】

【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.

【详解】，，

令，解得：或，

在上的“拉格朗日中值点”的个数为.

故答案为：.

四、解答题

17．在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．

(1)求与的坐标；

(2)求向量在平面上的投影向量的坐标．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出点的坐标，再利用向量的坐标表示作答.

（2）根据长方体的结构特征，求出线段在平面上射影即可求解作答.

【详解】（1）在长方体中，已知，

依题意，，

所以，.

（2）在长方体中，平面，连接AC，因此线段是线段在平面上射影，如图，

即向量在平面上的投影向量为，而，，

所以向量在平面上的投影向量的坐标为.

18．已知函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)，；

(2)最大值为：，最小值为：-6.

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；

（2）利用导数先求函数的极值，再结合区间端点值比较即可.

【详解】（1）因为．

所以，

由，可得或，

，的变化情况如下：

所以函数的单调递增区间为，；

（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以为极大值点，为极小值点，

又，，，，

所以在上的最大值为：，最小值为：-6.

19．已知函数．

（1）若函数在和处取得极值，求，的值；

（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先对函数求导，根据极值点列出方程组求解，即可得出结果；

（2）由（1），得到，，列表确定函数单调性和极值，得到函数最小值，推出，进而可求出结果.

【详解】（1）由题可得，，

∵函数在和处取得极值，

∴，2是方程的两根，

∴，∴；

（2）由（1）知，，

当变化时，，随的变化如下表：

∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，

∴，∴的取值范围为．

【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，考查导数的方法研究不等式恒成立问题，属于常考题型.

20．已知函数.点是函数图象上一点.

(1)求过点作函数图像的切线方程；

(2)求函数的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；

（2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间.

【详解】（1）解：因为，所以，，

所以，即切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

（2）解：定义域为，且，

令，解得，

所以的单调递减区间为.

21．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.

（1）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；

（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；

（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.

【答案】（1）；（2），（）.

（3）销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.

【分析】（1）根据利润销售价格成本即可求解.

（2）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系.

（3）由（2）利用导数求出函数的最大值即可.

【详解】（1）由题意可得产品每千克的利润为.

（2）

，（）.

（3）由（2）可得，

令，解得或，

令，解得或，

令，解得，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

所以当，（元）

故销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.

22．设函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析.

(2)

【分析】（1）首先求出函数的导数，对a讨论，根据的正负即可求出函数单调性；

（2）利用参数分离将在上恒成立，转化为在上恒成立问题，设，求出在上的最大值，即可得到a的取值范围.

【详解】（1）已知，则函数的定义域为，且，

当时，，在单调递增；

当，且时，，此时在上是增函数；

时，，此时在上是减函数．

综上所述，当时，在定义域上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

，则，

a的取值范围为.