2022-2023学年甘肃省武威市民勤县第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年甘肃省武威市民勤县第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；

【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.

故选：A.

2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接根据双曲线定义得到，，得到双曲线方程.

【详解】设双曲线的方程为，半焦距为，则，，

故，.所以双曲线的标准方程为.

故选：D.

3．若与相外切，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出

【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，

的标准方程是，圆心的坐标为，半径，

因为与相外切，

所以，

即，

解得：.

故选：C.

4．过圆的圆心且与直线平行的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出圆心坐标和直线斜率，代入点斜式方程，化为一般式方程即可.

【详解】圆的圆心为，与直线平行的直线的斜率为2，所以所求直线的方程为，即.

故选：D.

5．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

【答案】B

【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.

【详解】由，

所以直线恒过定点，

因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.

故选：B

6．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】排除的情况，根据等比数列求和公式解得，再根据计算得到答案.

【详解】当时，，即，，不成立；

当时，，即，解得.

，.

故选：B.

7．已知是等差数列的前项和，若，，则（    ）

A．40 B．45 C．50 D．55

【答案】A

【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解.

【详解】由等差数列的性质得：

，，成等差数列，

所以，

解得.

故选：A

8．在平面直角坐标系中，，，若动点P满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意列式求的轨迹方程后结合圆的性质求解即可.

【详解】设点P坐标为，由，得，

整理得，所以点P的轨迹是以点为圆心，半径的圆，

所以.

故选：D

二、多选题

9．已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ）

A．18 B．19 C．20 D．21

【答案】BC

【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.

【详解】由题意，得，所以.

故选：BC.

10．已知直线l过点，倾斜角为，若，则直线l的方程可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由求出，得到直线l的斜率，可求出直线l的方程

【详解】因为，，所以，所以直线l的斜率.

当时，直线l的方程为，即；

当时，直线l的方程为，即.

故选：AC.

11．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是等差数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用求解出当时，，故数列是等比数列，求出通项公式和前项和公式，判断出答案.

【详解】当时，，所以，

当时，，所以，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，

.

故选：ACD.

12．如图，已知椭圆：的离心率为，，，，为椭圆顶点，，为焦点，O为坐标原点，P为椭圆上一点且轴（点P在x轴上方），则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若是四边形的内切圆上任意一点，则

【答案】BD

【分析】对于A，根据求得离心率即可判断；对于B，求出， 即可判断；对于C，等价于，由此求出离心率即可判断；对于D，证明是四边形的内切圆的直径，即可判断.

【详解】解：对于A，等价于，等价于，

所以，故A不正确；

对于B，由，，

得，

所以，故B正确；

对于C，由轴，得，

所以，

等价于，即，

此时，故C不正确；

对于D，因为四边形为菱形，

所以内切圆的圆心为原点，半径为原点到直线：的距离，

所以是四边形的内切圆的直径，所以，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是____________.

【答案】

【分析】结合已知条件求出圆的半径，进而得到答案.

【详解】因为为圆心，且圆与轴相切，

所以圆的半径，

故所求圆的方程为.

故答案为：.

14．若直线：与直线：平行，则______.

【答案】

【分析】两直线平行，则斜率相等，排除重合的情况.

【详解】已知直线：与直线：平行，则且，解得.

故答案为：

15．经过点作直线交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线的方程为____________.

【答案】

【分析】设，，代入椭圆的方程，利用点差法求出所在直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.

【详解】设，，则，，

两式相减可得，即，

由中点，可得，，

所以，即，

故直线的方程为.因为P在椭圆内，故直线必与椭圆相交，符合题意

故答案为：.

16．函数的最小值是_____________.

【答案】5

【分析】依题意可得，设，，，则问题转化为求点到点，两点的距离之和的最小值，求出关于轴的对称点的坐标，则，再根据距离公式求解即可.

【详解】解：因为

，

设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即，

点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则，

所以，所以的最小值是.

故答案为：

四、解答题

17．已知是等差数列的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；

（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.

【详解】（1）设数列的公差为，因为，

所以.

解得.

所以.

（2），

所以.

令，得，

解得：（舍去）.

因为，所以的最小值是12.

18．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.

(1)若直线，求直线l的方程；

(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，

（2）由题意得过原点或斜率为后求解

【详解】（1）联立得即.

因为，不妨设直线l的方程为，

将点代入，得，

所以直线l的方程为.

（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；

当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，

将点代入，得，

所以直线l的方程为，即.

综上所述，直线l的方程是或.

19．已知点是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点.

(1)若，求的长度；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据椭圆方程和题干条件设，代入椭圆即可求解；

(2)利用椭圆的定义，求出焦点三角形三边的关系，再利用余弦定理求出，

最后利用面积公式即可求解.

【详解】（1）由椭圆，得，，

则，所以，

由，设，代入椭圆，

得，解得，所以.

（2）由题意，得，，

又，由余弦定理可得，

即，所以.

所以的面积.

20．已知以点为圆心的圆与直线相切，，与相交于，两点.

(1)求的方程；

(2)若，求直线与之间的距离，

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据直线与圆的位置关系可得圆的半径，进而可得圆的方程；

（2）由，设直线方程为，根据弦长可得圆心到直线距离，进而可得的值.

【详解】（1）由与直线相切可知，的半径，

所以的方程是；

（2）因为，设直线的方程为，

所以圆心到直线的距离，

由，

解得或，

所以直线的方程为或，

当直线的方程为时，直线与直线的距离为；

当直线的方程为时，直线与直线的距离为，

所以直线与直线的距离为或.

21．已知数列满足，.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)若且，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可；

（2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以.

因为，所以，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由（1）可知，，所以.

因为，当时，，所以，

当时，也符合，所以，所以，

所以，①

，②

①-②，得，

所以.

22．已知的方程是，直线l经过点.

(1)若直线l与相切，求直线l的方程；

(2)若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.

【答案】(1)或

(2)证明见解析

【分析】（1）根据直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径列式求解即可；

（2）设直线l的方程为，设线段的中点为N，则，再根据，联立直线与圆的方程，再结合韦达定理化简求解即可.

【详解】（1）的方程化为标准形式是，圆心，半径，

当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，

圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，

由直线l与相切，得，解得，

所以直线l的方程是，即.

综上所述，直线l的方程是或.

（2）证明：因为直线l与相交于A，B两点，所以直线l的斜率存在，

设直线l的方程为，

联立得即点.

设线段的中点为N，则，设直线的方程是，

联立得即点，

所以

，

所以为定值-12.