2022-2023学年福建省三明市优质高中校高二下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年福建省三明市优质高中校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．下列函数的求导正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数公式表和求导法则可得答案.

【详解】对于A，，故A不正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，，故D不正确.

故选：B

2．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学老师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是（    ）

A．24 B．22 C．20 D．12

【答案】D

【分析】按照特殊元素优先的原则先排数学课再对其余三门功课全排列即可.

【详解】因为数学教师因故不能上第二节和第四节课，

所以先排数学老师的课，共有种排课方案，

然后再排剩下三位老师的课，共有种排课方案，

由分步计数乘法原理可得共有种排课方案，

故选：.

3．在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（    ）

A．180 B．165 C．120 D．55

【答案】B

【分析】先求出n,再由性质直接计算可得.

【详解】在的展开式中，若二项式系数最大值为,

由于，

.

故选:B.

4．的展开式中，常数项为（    ）

A． B． C．180 D．300

【答案】B

【分析】本题考查二项式定理的应用，考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

【详解】的展开式的通项为．

当为常数时，，解得，则；当为常数时，，解得，则，所以的展开式中常数项为．

故选：B．

5．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生.女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误的概率不超过5%，则m的最小值为（    ）

附：，

附表：

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】根据题意得列联表，根据公式计算，结合题意列式求出的范围可得答案.

【详解】依题意得男生中喜欢短视频的人数为（人），男生中不喜欢短视频的人数为（人），

女生中喜欢短视频的人数为（人），女生中不喜欢短视频的人数为（人），

所以列联表为：

零假设为：喜欢短视频和性别相互独立，

，

因为推断不成立犯错误的概率不超过5%，所以，解得，

因为，所以的最小值为.

故选：C

6．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由计数原理可求出4个冰墩墩随机放入3个不同袋子的种数，利用组合中的分组分配问题求出每个袋子至少放入一个冰墩墩的种数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有种不同的放法，

若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析：

①将4个冰墩墩分为3组，有种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子中，有种情况，则有种方法，所以所求的概率为.

故选：D

7．若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】转化为，即在上恒成立，再根据右边构造函数，利用导数求出最大值可得结果.

【详解】，

因为在上为单调递增函数，

所以在上恒成立，

则，即在上恒成立，

设，则，在上为减函数，

，所以.

故选：D

8．已知，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，从而得到；再构造函数，进而得到，由此得解.

【详解】令，，

则，故在上单调递减，

所以，即，即，故；

令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

令，

所以，所以在上单调递增，

，

所以，所以；

综上：.

故选：C.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1

B．经验回归方程为时，变量x和y负相关

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则

【答案】BCD

【分析】对于A，线性相关系数r的性质可得A不正确；对于B，根据斜率小于，可得B正确；对于C，根据残差分析结论可得C正确；对于D，根据经验回归方程必过点，可得D正确.

【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确；

对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确；

对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；

对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确.

故选：BCD

10．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．过原点作图象的切线是 B．函数有三个零点

C． D．若函数在上恒成立，则

【答案】BC

【分析】根据导数的几何意义可得A不正确；根据零点存在性定理可得B正确；根据单调性可得C正确；根据单调性求出在区间上的最大值可得D不正确.

【详解】的定义域为，，

对于A，设切点为，则，

则切线方程为，

将代入得，得，

得或，

所以切线方程为或，故A不正确；

对于B，，

由，得或，由，得，

所以在和上为减函数，在上为增函数，

所以的极大值为，极小值为，

又，，

所以函数在、、上各有一个零点，

所以函数有三个零点，故B正确；

对于C，由B知，在上为减函数，所以,

所以，即，故C正确；

对于D，由B知，在上为增函数，在上为减函数，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以在区间上的最大值为，

所以，故D不正确.

故选：BC

11．下列命题中，正确的命题的序号为（    ）

A．若，，，则

B．已知随机变量服从二项分布，若，，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，设秒后质点的坐标为随机变量，则

【答案】ACD

【分析】根据对立事件、和事件和条件概率公式求解可知A正确；根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得B错误；根据正态分布曲线的对称性可知C正确；根据所有可能的取值，及，结合数学期望公式可求得结果.

【详解】对于A，，，

，又，

，，A正确；

对于B，，，解得：，B错误；

对于C，，，C正确；

对于D，所有可能的取值为，

且，

，D正确.

故选：ACD.

12．甲､乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为.规定：比赛结束时获胜局数多的人贏得比赛.记甲贏得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（    ）

A． B．

C． D．单调递增

【答案】ACD

【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，由此可判断ABC，判断和的大小即可判断的单调性，从而判断D．

【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，．

∵，

又，

∴，

∴，故C正确；

∴，故A正确；，故B错误；

∵，∴，

又∵，

∴，∴，即P(n)单调递增，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用二项式定理的性质以及独立事件的乘法公式得出，从而由判断选项.

三、填空题

13．若，则             .

【答案】3

【分析】根据组合数的性质可得结果.

【详解】由得或，

得（舍）或.

故答案为：.

14．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为             .

【答案】

【分析】设事件表示“党员甲被选中”，事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，根据已知求出的值，然后根据条件概率的公式，计算即可得出答案.

【详解】设事件表示“党员甲被选中”，事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，

则，

,

所以，.

故答案为：.

15．已知的展开式中各项系数和为1024，则展开式中不含的所有项系数和等于             .

【答案】213

【分析】直接利用二项式的展开式和项的系数及赋值法的应用求出结果．

【详解】因为的展开式中各项系数和为1024，

令，整理得，解得；

故的展开式满足，

令时，的展开式满足，令，解得，

故含的所有项系数为，

由于的所有项的系数和满足当，时，所有项的系数和为，

故不含的所有项系数和等于．

故答案为：213．

16．已知函数，若恒成立，则a的取值范是              .

【答案】

【分析】转化为，令，利用导数判断出在上单调递增，可得在时恒成立，令，再利用导数求出最大值可得答案.

【详解】若，可得，

令，则，则在上单调递增，

由得，

即在时恒成立，

令，

则，当时，单调递增，

当时，单调递减，所以，

即，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是转化为，然后构造函数利用导数求出参数的取值范围，考查了学生的分析问题问题、解决问题的能力.

四、解答题

17．若，且.

(1)求实数a的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）换元后，利用展开式的通项公式可求出结果；

（2）根据通项公式判断各项系数的符号，去掉绝对值，再根据赋值法可求出结果.

【详解】（1）令，则，有，

，

令，得，解得.

（2）由（1）知，，

对照系数知，，，，，，，.

令，得，

令，得，

故.

18．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求：

(1)有多少个含2，3的五位数？

(2)有多少个含数字1，2，3且必须按由大到小顺序排列的六位数？

【答案】(1)个

(2)100个

【分析】（1）按照五位数中是否含分两类计数，再相加可得结果；

（2）先将数字1，2，3按由大到小顺序排好，再分别插入可得结果.

【详解】（1）若五位数中含有0，则共有个数；

若五位数中不含0，则共有个数；

则共有个五位数.

（2）先将数字1，2，3按由大到小顺序排好，只有一种排法，

再将数字插入，有种插法，然后插入数字，有种插法，最后插入，不能插到最左边，有种插法，

根据分步乘法计数原理得共有个六位数.

19．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；

(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；数学期望

(3)

【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值；

（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；

（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果.

【详解】（1），.

（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，

人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；

则，

若最大，则最大，当时，取得最大值.

20．已知函数（）．

(1)当，求f（x）的极值．

(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）

【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3

(2)

【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；

（2）存在，使，转化为在区间上,即可求解.

【详解】（1）的定义域为，

当时，，

∴，

令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，

∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）

∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；

（2），令，

若，则，

∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，

∴当时，f（x）在上单调递减，

∴f（x）在上的最大值为，

，令，得，

当时，，∴单调递减，

当时，，∴g（x）单调递增，

∴在上的最小值为，

由题意可知，解得，

又∵，

∴实数a的取值范围为[1，4）．

21．疫情期间，某校使用一家公司的三种软件来上网课，分别为在线课堂、视频会议、在线直播.根据效果，首选在线课堂，当在线课堂进不去时选视频会议，当在线课堂和视频会议均进不去后再选在线直播.当该校不是该软件的会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率分别为，，；当该校充值为会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率均为，设在线课堂、视频会议、在线直播的网课效果得分分别为5分，3分，2分.

(1)调查知前7天能完成全部网课的班级数y如表所示：已知与具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；（t的系数精确到0.01）

(2)请你计算后判断学校充值为会员后，网课效果得分的数学期望是否有提高.

（参考公式：在线性回归方程中，，）

【答案】(1)

(2)可以提高

【分析】（1）根据题中数据和公式求回归方程；

（2）根据题意分别求充值前、后的分布列与期望，比较大小分析理解.

【详解】（1）由题意：设，∴，

，，

所以，

所以关于的经验回归直线方程为，

所以.

（2）设该校不是会员时，网课效果得分为X，则X的所有可能取值为5，3，2，0，

，，，

故X的分布列

所以

设该校是会员时，网课效果得分为Y，则Y的所有可能取值为5，3，2，0，

，，，

故Y的分布列

所以.

因为，所以该校充值为会员后，网课效果得分的数学期望有了提高.

22．已知函数．

(1)若，求方程的解；

(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．

【答案】(1)解为

(2)，证明见解析

【分析】（1）用导数研究的单调性与极值，只有在极值点处满足；

（2）由及分别有两个零点，分离参数，数形结合得到的取值范围，由消去代入得，结合进一步转化为证明，结合的范围，考察的最值得证.

【详解】（1），定义域为，

令，设，

故在上单调递减，在上单调递增，，

故方程的解为.

（2）令，得，设，

故在单调递增，在单调递减，，

当时，当时，

若有两个零点，则，故，

，令，得，

设，则，

故在单调递增，在单调递减，，

当时，当时，

若有两个极值点，则，

综上，.

不妨令，因为且，由与图象得，

由为的两根得，

两式分别乘并整理得，

所以，

要证，即证，

即证：，

由于，所以 ，

只需证，即证，（），

令，（），

当时，所以在上单调递减，

所以，故，得证.

【点睛】关键点点睛：由为的两根得……①，

……②，对含参双零点常用处理方法：

①+②得……③，用此式可代入消参，

①－②得……④，也用此式可代入消参，

由③④得，可直接消参.

本题中以上方法均不适合，结合要证的结论要想消参需要在①②两式分别乘构造出代入即可.