2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

2．如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】由题可得，可得为直径时最大.

【详解】因为，A，B是单位圆上的动点，

所以的最大值为2，此时与反向.

故选：D.

3．已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算以及复数相等的条件求出即可得解.

【详解】由，得，得，

得，得，

所以.

故选：C

4．已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.

【详解】，即或，又是的充分不必要条件，

所以，即的取值范围是.

故选:A.

5．函数的图像最有可能的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的函数，判断其奇偶性，再利用奇偶性及在上的零点个数判断作答.

【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，D不正确；

当时，由得：，而，因此，解得，

于是得在上有且只有一个零点，B，C不正确，A正确.

故选：A

6．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出，将问题转化为在有两个零点，列出不等式求得的取值范围.

【详解】当时，，

因为在上有且仅有2个零点，

所以在有两个零点，

则有，解得.

故选：D

7．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

【答案】B

【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，

所以积水厚度，属于中雨.

故选：B.

8．已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.

【详解】，

当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立，

当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，

∴，

∵恒成立，∴，

∴，

∴，

令，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴．

故选：B

【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.

二、多选题

9．已知、是随机事件，则下列结论正确的是（    ）

A．若、是互斥事件，则

B．若、是对立事件，则、是互斥事件

C．若事件、相互独立，则

D．事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率

【答案】BD

【分析】利用互斥事件的定义可得出，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若、是互斥事件，则，则，A错；

对于B选项，若、是对立事件，则、是互斥事件，B对；

对于C选项，若事件、相互独立，

则，C错；

对于D选项，事件、至少发生一个包含三种情况：、、，

事件、恰好发生一个包含两种情况：、，

因此，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，D对.

故选：BD.

10．已知，则在二项式的展开式中，正确的说法是（    ）

A． B．常数项是第3项

C．各项的系数和是1 D．第4项的二项式系数最大

【答案】ACD

【分析】先求出值，再写出二项式的展开式的通项公式，根据选项逐一检验即可．

【详解】由得对；

二项式的展开式通项，

令，可得，故常数项是第4项，B错；

二项式中，令，可得各项的系数和是正确·；

由可得，二项式展开式共有7项，第4项的二项式系数最大，正确．

故选：．

11．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（    ）

A．数列的最大项为 B．数列的最小项为

C．数列为递增数列 D．数列为递增数列

【答案】ABC

【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.

【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；

当为奇数时，，，最大；

综上所述：数列的最大项为，A正确；

对于B，当为偶数时，，，最小；

当为奇数时，；

综上所述：数列的最小项为，B正确；

对于C，，，

，

，，，

数列为递增数列，C正确；

对于D，，，

；

，，，又，

，数列为递减数列，D错误.

故选：ABC.

12．已知，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于A，直接利用基本不等式判断；对于B，利用“1”的代换，再利用基本不等式判断；对于C，由判断；对于D，由得到，再利用函数的单调性判断.

【详解】对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；

对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确；

对于C，因，则有，

即，当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确：

对于D，由得，，而函数在上单调递增，因此，不正确.

故选：AC

三、填空题

13．计算：      .

【答案】1

【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，求解即可得出结果.

【详解】根据指数幂以及对数的运算性质，可知.

故答案为：1.

14．写出命题“”的否定：          .

【答案】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题“”的否定为.

故答案为：.

15．假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：

在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌，表示买到的是优质品，则          .

【答案】

【分析】根据题意，由全概率公式求出，由概率乘法公式可得，进而由贝叶斯公式计算可得答案.

【详解】由全概率公式得：

，

由贝叶斯公式得.

故答案为：

16．如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于          ．

【答案】2

【分析】根据双曲线和椭圆定义，表示出周长与、的关系，根据三角形性质——两边之差小于第三边得出当，，三点共线时周长最小的结论，即可求出答案.

【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为，根据双曲线和椭圆定义可知，，

得周长为：

根据三角形性质可知，当，，三点共线时取最大值，此时周长最小，当，，三点共线时，最小周长为

故答案为：2

四、解答题

17．已知数列是公差不为的等差数列.

(1)若，求；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)16

【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列前项和公式即可得解；

（2）根据等差数列前项和公式和等差数列的通项公式计算即可.

【详解】（1）因为，所以公差，

所以；

（2）设等差数列的公差为，则，

因为，所以，

即，则，

所以，

所以，解得.

18．已知函数.

(1)若，求函数在处的切线方程；

(2)求函数的最大值.

【答案】(1)

(2)当时，函数无最大值；当时，

【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；

（2）对求导，分类讨论和，判断与的大小，即可求出的单调性和最大值.

【详解】（1）当时，，

，又

则函数在处的切线方程为：；

（2）当时，，此时函数在上单调递增，无最大值；

当时，由可得.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，.

综上，当时，函数无最大值；

当时，.

19．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.

(1)证明：平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明，，再根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）如图，连接，由题意知为的直径，所以，

因为是圆柱的母线，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，所以，

因为是圆柱的母线，所以平面，

又因为平面，所以，

又因为平面，

所以平面；

（2）由（1）知两两相互垂直，

如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，

由（1）知平面，故平面的法向量可取为.

设平面的法向量为，由，，

则有，可取

设二面角的平面角为，

则，

由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为.

20．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．

(1)当时，求OP的长；

(2)当面积最大时，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；

（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.

【详解】（1）由题意，

在中，，，，

∴为等腰直角三角形，

∴在以为直径的圆上，

取的中点，连接，

∴，，

在中，，，

由正弦定理，

，

解得：

（2）由题意及（1）知，，，

在中，，，

由余弦定理，

，

即，

即，

∴，当且仅当时，等号成立，

又，

∴当且仅当时，的面积最大，此时，

∴．

21．已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.

(1)求的方程；

(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先判断出当点，，，四点共线且点，在，中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；

（2）设出直线方程，联立抛物线求出，，由解出，再由即可证明．

【详解】（1）由题得，当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，

最小值为，又，

解得，

所以的方程为.

（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

联立得，

则，所以，又，

所以，所以，

解得或（舍去），

即，所以，

所以，

又，

所以为定值.

【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于难题．利用韦达定理化简，准确计算是解题的关键.

22．某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：

（I）完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；

（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在；②记满足的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于k的概率为P，.

试问该课题研究小组是否会接受该模型.

参考公式和数据：

，；若，有，.

【答案】（I）列联表见解析，没有把握；（Ⅱ）第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.

【分析】（I）由已知可得列联表，再利用卡方公式计算即可；

（Ⅱ），由题知，而，故不存在 而满足的i的个数为3，算出的概率为0.043，从服从总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于的个体数为Y，则，再利用二项分布概率公式计算即可.

【详解】（I）由表可得

所以，

所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关；     

（Ⅱ）由表格可得；   

由题知，而，

故不存在 ，而满足的i的个数为3，即

当

设从服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于

的个体数为Y，则，

所以，，

综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.

【点晴】本题考查独立性检验与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.