2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：B

2．若复数满足，则的共轭复数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的运算法则和复数模的公式及共轭复数的概念即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：C

3．已知，则（    ）

A．256 B．255 C．512 D．511

【答案】D

【分析】令，求得，再分别令和，两式相加，从而可得出答案.

【详解】解：令，①，

令，②，

①+②得：，

∴，

令，，

∴.

故选：D．

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.

【详解】解:由题知,

定义域为,解得,

所以,

故为奇函数,

排除A,B;

令

可得,即,

解得,

当时,,

,此时,

故选项D错误,选项C正确.

故选:C

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指对函数性质与对数运算进行比较即可得出答案.

【详解】由题意得，，，

．

故选：A．

6．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.

【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为.

故选：C.

7．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（    ）

A．18米 B．21米 C．24米 D．27米

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的值，即可得解.

【详解】解：抛物线，即，

因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，

所以抛物线即为，令，则，解得，

所以校门位于地面宽度最大约为米.

故选：C

8．双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】B

【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，结合双曲线的定义求得，再结合基本不等式和函数的单调性求得的最小值.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以，，

当在双曲线的左支时，，

所以，

当且仅当时等号成立.

当在双曲线的右支时，，

所以（其中），

对于函数，

，

任取，

，

由于，

所以，

所以在上递增，所以.

所以的最小值为.

综上所述，的最小值为.

故选：B

二、多选题

9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差

B．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则

C．若甲，乙两组数据的方差分别为，则

D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数

【答案】BD

【分析】根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及其意义、中位数的概念，即可判断各项的正误.

【详解】由折线图得：

对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；

对于B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知，故B正确；

对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，故C错误；

对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．

故选：BD．

10．已知函数，则下列说法中正确的有（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数图象的一条对称轴是

C．若，则函数的最小值为

D．若，，则的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据点关于点对称的点不在函数图象上，判断A不正确；

根据判断B正确；

求出函数在上的值域可判断C正确；

根据函数的最大值，结合推出，再根据的最小正周期为可得的最小值为，可得D正确.

【详解】在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故A不正确；

因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确；

若，则，所以，故C正确；

因为，所以，所以，故D正确.

故选：BCD

11．已知P为双曲线上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是 （    ）

A．∠APB＝ B．k1k2＝ C．mn＝ D．|AB|≥

【答案】AC

【分析】先求出双曲线的渐近线方程，设点，利用点到直线的距离公式求出，再利用直线之间的垂直关系求出直线、的斜率，再运用余弦定理及基本不等式可确定的范围.

【详解】如下图所示，

设，则.

由题设条件知：双曲线的两渐近线：，所以可知，从而，故A正确；

由于、分别垂直、，所以，，因此，故B不正确；

由点到直线的距离公式知：，

所以，故C正确；

在中，因为，

所以，又因为，

所以（时等号成立），故D不正确.

故选：AC.

12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（    ）

A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN

C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为

【答案】ABC

【分析】对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积

【详解】如图，在正方体中，连接，，

因为N，P分别是，的中点，所以，

又因为，所以，

所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；

连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，

因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；

连接，，，

因为，

所以，

故选项C正确；

分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，

则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，

设所求外接球的直径为2R，

则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，

即，

所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．若随机变量，且，则等于         ．

【答案】/

【分析】利用正态分布曲线的对称性直接求解即可.

【详解】，，

.

故答案为：.

14．在中，AD为BC边上的中线，点E在线段AD上，且，若，则       ．

【答案】1

【分析】画出草图，利用向量的加减与已知条件将表示为与，得出x与y的值，即可得出答案.

【详解】作出草图如下：

点E在线段AD上，且，

，

为BC边上的中线，

，

，

，

又，且，不共线，

，，

，

故答案为：1.

15．若直线和直线将圆的周长四等分，则          ．

【答案】2

【分析】由条件可得直线和直线间的距离为，由此可求的值.

【详解】设直线和圆相交与点，直线与圆相交于点，圆心为，

因为直线和直线将圆的周长四等分，

所以圆心位于两直线之间，且,

所以为等腰直角三角形，所以圆心为到直线的距离为，

同理可得圆心为到直线的距离为，

故直线和直线间的距离为，

所以，所以，

故答案为：2.

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，AF1与C交于点B，若，则C的离心率为        ．

【答案】

【分析】由题意可得为等腰直角三角形，设，结合等腰三角形的性质和双曲线的性质，可得，再在中，由余弦定理可得，从而可求出离心率

【详解】因为，

所以为等腰直角三角形，

设，则，

由双曲线的定义可得，

所以，

因为，

所以，

所以，，

在中，由余弦定理得

，

所以，

所以，得，

所以离心率为，

故答案为：

四、解答题

17．在△ABC中，已知

(1)求B的大小；

(2)在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积．

①②③

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小；

（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积.

【详解】（1）

由正弦定理得

，

，即，

又，；

（2）选①：

或，所以△ABC不唯一存在

所以①不能选；

选②：，即

选③

即

或（舍）

.

18．已知圆

(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；

(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.

【答案】(1)或或；

(2)

【分析】（1）当圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0时设所求切线方程为，利用则圆心到切线的距离为求出；当截距均不为0时设所求切线方程为，利用圆心到切线的距离为求出可得答案；

（2）根据、可得答案.

【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，

①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0，则切线过原点，

设所求切线方程为，即

则圆心到切线的距离为，解得，

此时，所求切线的方程为；

②若截距均不为0，设所求切线方程为，

则圆心到切线的距离为，解得，

此时，所求切线方程为或，

综上所述，所求切线方程为或或；

（2）由题意可知，，

则

，

由，得，

化简得，

所以，点P的轨迹方程为.

19．如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.

(1)证明：平面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.

(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.

【详解】（1）∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，

故

又∵，，

∴

∵，

∴，

∴

∴，又∵，，平面

∴平面

（2）取的中点，连接，则，由(1)可知，

∵，∴平面，

又∵

∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

由题意可得，，

∵平面，∴，

四边形为矩形，

∴  

平面的一个法向量为.

设平面的一条法向量为，，

由   得   令，则，

平面的一个法向量为        

则平面与平面的夹角的余弦值为

∴平面和平面夹角的余弦值为

20．某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．

(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；

(2)令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）

(3)根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）

参考数据：，，，，，，，，，，．

【答案】(1)

(2)

(3)150元/天

【分析】（1）根据图象得出的所有可能情况，利用超几何分布求得不同下的概率，进而列出分布列.

（2）由散点图判断出更适模型的回归方程，分别求出和，求出回归方程.

（3）写出100天销售额L的表达式，再根据导数求得最大值，即可得出收费标准.

【详解】（1）由题意，抽取两家深入调查，可能为0，1，2.

,，，

∴的分布列为：

（2）由散点图可知,散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，

∵

∴

∴回归方程为：

（3）由题意得，,

在中

当时，解得：，

当即时，函数单调递减，

当即时，函数单调递增，

∴函数在处取最大值，

∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.

21．已知椭圆：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）由，点代入椭圆，建立方程组求解即可；

（2）当的斜率存在时，先由垂径定理求出圆心到直线l的距离，设：，，，由点线距离公式可得，可得，将方程代入椭圆方程中结合韦达定理、弦长公式可得，则，结合均值不等式讨论最大值即可；当的斜率不存在时，则：，可知直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.

【详解】（1），，

由椭圆过点得，解得，，

∴椭圆的方程为.

（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，

当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点

则有，∴.

将方程代入椭圆方程中整理得：，

∴，，

，

∴，当且仅当，即时取等号.

当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.

∴面积的最大值为2.

【点睛】直线与圆锥曲线相交弦相关的面积问题，一般可联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理、弦长公式将弦长表示出来，再由点线距离作为高，即可表示三角形面积.

另外直线与圆锥曲线相交弦的问题，注意讨论直线斜率存在与否.

22．如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)直线过定点.

【分析】（1）利用定义法求点的轨迹的方程；

（2）直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再根据得，即得解.

【详解】（1）解：由题得,

所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆.

所以，

所以椭圆的方程为.

所以点的轨迹的方程为.

（2）解：由题得点,设直线的方程为，

联立直线和椭圆的方程为得，

所以.

设，所以.

所以直线方程为，

令得，同理,

因为，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，所以直线的方程为，

所以直线过定点.