2022-2023学年广西壮族自治区桂林市平乐县平乐中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广西壮族自治区桂林市平乐县平乐中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知等比数列的公比，则 等于（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】根据等比数列通项公式计算可得；

【详解】解：因为等比数列的公比，

所以．

故选：D

2．下列有关线性回归分析的五个命题：

①在回归直线方程中，当增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1

④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高

⑤甲、乙两个模型的相关指数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好

其中真命题的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于②，根据回归直线的几何意义即可判断；对于③，根据相关系数与变量的相关性的关系即可可判断；对于④，根据残差图的特点即可判断；对于⑤，根据模型的与效果的关系即可判断.

【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程中，当增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故①正确；

对于②，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确，回归直线也可能不过任何一个点；故②不正确；

对于③，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数的绝对值就越接近于，故③不正确；

对于④，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故④不正确；

对于⑤，甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故⑤正确；

则正确的个数为2.

故选：B.

3．已知，下列说法正确的是（    ）

A．无零点 B．单调递增区间为

C．的极大值为 D．的极小值点为

【答案】C

【分析】由的定义域为，可判定B不正确；求得，得到函数的单调性和极值的概念，可判定C正确，D不正确；结合单调性和，可判定A不正确.

【详解】由函数，可得定义域为，所以B不正确；

又由，令，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值，

所以C正确，D不正确；

当时，；当时，；当时，，

所以函数在定义域内有一个零点，所以A不正确.

故选：C.

4．一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件表示“考生答对”， 设事件表示“考生选到有思路的题”.

则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：

故选：C.

5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）

A． B．43 C． D．41

【答案】A

【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.

【详解】设，则，

因为为等比数列，

所以，，仍成等比数列．

因为，所以，

所以，故．

故选：A.

6．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．

【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；

当时，，此时，，若，，

所以函数的图象可能是C．

故选：C

7．等差数列的前项和为，若且，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒

【详解】设的公差为d，

∵

∴，

即{}为等差数列，公差为，

由知，

故﹒

故选：A﹒

8．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由，得，先构造函数，利用导数分析其单调性，得到，再构造函数，，利用导数分析其单调性，得到，即可得到，最后构造函数，利用导数分析其单调性，得到，进而得到，进而求解即可.

【详解】由，得，

令，

则，

所以在上单调递减，

所以，

即，

令，，

则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以，

即，

所以.

由，得，

，

设，

所以，

所以函数在上单调递减，

所以，

所以时，，

所以，即，

所以，

所以.

故选：B.

【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：

（1）结合函数性质进行比较；

（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；

（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.

二、多选题

9．5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围，促进了5G手机的销量.某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

 若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约台 B．

C．与正相关 D．预计2022年1月份该手机商城的5G手机销量约为部

【答案】BCD

【分析】根据线性回归方程知,平均每个月增加约44台，判断A;利用样本中心点求得，判断B;根据回归方程的系数可判断C;将2022年1月份对应的月份编号代入回归方程，求得，判断D.

【详解】由线性回归方程知，5G手机的销量逐月增加，

平均每个月增加约44台，所以A错误；

因为过样本中心，而，代入回归方程得： ，

则，得，所以B正确；

因为，所以与正相关，故C正确；

因为2022年1月份对应的月份编号，所以，故D正确,

故选：BCD

10．已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由二项分布的均值知求得，即可判断A，B，进一步求出，又根据服从正态分布可求得，,即可判断C，D.

【详解】因为，所以，即A错误，B正确；

易知，因为，所以，

所以，即C错误，D正确.

故选：BD.

11．公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．中最大 D．

【答案】ABD

【分析】由等差数列通项的性质和前n项和公式，对选项中的结论进行判断.

【详解】等差数列中，，，

即，，

∴，，，，

所以AB正确，C错误；

，由且，有，所以，D选项正确.

故选：ABD

12．已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（    ）

A．为增函数 B．为增函数

C．的解集为 D．的解集为

【答案】ABD

【分析】利用导数与函数的单调性的关系可判断AB，利用函数的单调性解不等式判断CD.

【详解】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；

对于B，由，，所以为增函数，故B正确；

对于C，，则等价于，又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故C错误；

对于D，等价于，

即，又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．随机变量的分布列如下表所示：

则    

【答案】0.3/

【分析】根据给定的数表，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答.

【详解】由分布列的性质得，，解得，

所以.

故答案为：0.3

14．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为       ．

【答案】

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，

则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15．在数列中，，当，，则的值为          ．

【答案】4951

【分析】先根据递推式分别表示出时的关系式，叠加后即可求得，则可得.

【详解】因为，

所以，，

将以上个式子相加得：

，

因为，所以，

所以，

故答案是：4951.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有应用累加法求数列的通项公式，属于简单题目.

16．若函数有且仅有一个极值点，则a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据题意，求导得，将函数极值点问题转化为零点问题，分离参数，再转化为函数图像交点问题，结合导数研究，即可得到结果.

【详解】若函数有且仅有一个极值点，只需有一个零点，且在此零点两侧，函数符号不同．

当时，，所以在R上单调递减，函数无极值点，

所以，令，则，即．

记，则，令，得，令，得或，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，，且，又，，

故的大致图象如下图所示：

由图可知，若有且仅有一个极值点，则，得．

所以的取值范围为．

故答案为:

四、解答题

17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．

（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为

【解析】（1）计算“每台新型防雾霾产品不能销售”的对立事件“每台新型防雾霾产品能销售”的概率，可得结果.

（2）列出所有可能取值，并计算每个值所对应得概率，然后列出分布列并计算期望，可得结果.

【详解】（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”

事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”

所以

所以

（2）根据（1）可知，

“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为

“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为

所有的可能取值为：，，，

则

所以的分布列为

所以

则

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，重点在于对随机变量的取值以及所对应概率的求取，同时掌握数学期望的公式，属基础题.

18．已知等差数列的前项和为，，．

（1）求及；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；

（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求

【详解】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，

则，整理得，解得，

∴，．

（2），

∴

．

19．国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：

若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为．

（1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；

（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附，．

【答案】（1）有；（2）分布列见解析；期望为．

【分析】（1）利用古典概型概率公式，可求出家长高度重视孩子成绩一般的人数，再利用独立性检验公式即可解出；

（2）由题意分析可知X的取值可以是0，1，2，3，分别利用古典概型概率公式，结合组合知识计算出对应的概率，进而可解出答案．

【详解】解：（1）由条件知，解得，

所以，，，

，

所以有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．

（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．

由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以X的分布列为

数学期望．

20．已知．

(1)若2是函数的极值点，求a的值，并判断2是的极大值点还是极小值点；

(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：

【答案】(1)；2是的极小值点；

(2).

【分析】（1）根据2是的极值点，求得，再求的单调性进行验证即可；

（2）对分离参数，构造函数，求其在的值域，即可求得求得参数的范围.

【详解】（1）因为，所以．         

因为2是的极值点，所以，解得．         

此时．

令，解得或，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．         

所以2是的极小值点．

（2）由，得，          

令，

则，

令，解得，

令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，           

故的极大值是，

而且，       

故实数a的取值范围是．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点以及利用导数研究函数在区间上的值域，属中档题.

21．给定数列，若满足（，且），且对于任意的，都有，则称为“指数型数列”．若数列满足：，．

(1)判断数列是否为“指数型数列”，若是，给出证明，若不是，请说明理由；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)是，证明见解析

(2)

【分析】（1）将整理化简为，根据等比数列的定义可得数列为等比数列，进而得到其通项公式，进而得到，即可得证；

（2）结合可得，进而得到，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）由得，，

两边同时除以得：，

易知有.

因为，所以，故，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，

故，

又，

所以，

所以数列为指数型数列.

（2）由（1）知，，

所以，

故，

所以.

22．已知函数.

（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：.

【答案】（1）恒过定点，证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，进而可证得结论；

（2）令，可得，构造，用导数可证得在上单调递增，则，即，故.

【详解】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.

（2）若有两个零点，，则，，得.

因为，令，则，

得，则，

所以.

令，则，

令，则，

则在上单调递增，所以.

所以，则在上单调递增，

所以，即，故.

【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：构造，用导数证得在上单调递增，进而得到.