2022-2023学年江西省上高二中高二下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年江西省上高二中高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】当即时，恒成立，满足题意，

当时，由题意得，解得，

综上，的取值范围是，

故选：B

2．已知i是虚数单位，复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

所以.

故选：A.

3．函数的图象大致为（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数为偶函数，可排除A,D选项，然后再求出函数在上的单调性可选出答案.

【详解】由，可得

所以函数为偶函数，可排除A,D选项

当时，

当时，，所以

所以函数在上单调递增，

故选：C

【点睛】本题考查根据函数的解析式选择图像，考查偶函数的应用，利用导函数判断函数的单调性 ，属于中档题.

4．已知函数的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的部分及周期公式求出函数的解析式，进而得到，

根据已知条件得出，再结合有三个零点即可求解.

【详解】由题意知,轴，所以的图象的一条对称轴方程为，所以．

由于的图象过由，且，得，

所以．

故，因为，

所以，其中，解得，

则，

因为在上的零点为，

且在内恰有3个零点，所以或，

解得.

故选：D.

5．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有

A．900种 B．600种 C．300种 D．150种

【答案】B

【分析】分两步进行，先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．

【详解】第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有（种）不同选法，

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有（种）不同选法，

所以不同的选派方案共有(10+15)（种）.

故选B.

【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．

6．某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（    ）元附：随机变量服从正态分布，则，，.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据，得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望.

【详解】因为，得出，，

所以，

；

，

所以（元）

故选：B

7．已知数列满足，，则数列的前10项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将递推公式两边取倒数，可得，即数列是以3为公差，1为首项的等差数列，在根据等差数列的通项公式可得，最后利用裂项相消法求和即可；

【详解】解：因为，

所以，即，

所以数列是以3为公差，1为首项的等差数列，

所以，所以，

所以，

所以，

故选：C

【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题.

8．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，则可得切线的方程，即可得到直线的方程，进而可求出点点的坐标，再结椭圆方程可求出的值

【详解】解：设，则

切线的方程为，切线的方程为，

因为点在切线上，

所以，，

所以直线的方程为，

所以，

因为点在椭圆上，

所以，

所以，

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点，再由已知条件得到直线的方程为，从而可得的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题

二、多选题

9．已知函数相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于点中心对称

B．函数在区间上的值域为

C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象

D．若，则

【答案】ACD

【分析】化简函数解析式根据周期求出，利用正弦型函数的对称性判断A，根据正弦型函数在区间上的值域判断B，由图象的伸缩与平移变换判断C，由三角恒等变换后求值判断D.

【详解】由题意，化简得，

由题意知周期，得，

所以，当时，，故A项正确；

当时，，故，故B项错误；

将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到，再向左平移个单位，可得，故C项正确；

由可得：，

于是，故D项正确.

故选：ACD

10．已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①；②；③（    ）

A．标准差为100

B．及格率超过

C．得分在内的人数约为997

D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

【答案】CD

【分析】利用正态分布中两个量和的意义，以及曲线的对称性即可判断各选项正误.

【详解】由题意知，，

A：标准差：，故A错误；

B：

，

，故B错误；

C：，

人，故C正确；

D：，

因为成绩服从标准正态分布，

，故D正确.

故选：CD

11．在数列中，，若是等差数列，，数列的前n项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由题意求出，从而得到，从而得到，再由裂项相消法求和，得到结果.

【详解】数列是等差数列，因为，

所以，所以数列的公差为2，

所以

当时，

，

也符合上式，

所以，则，故A正确；

所以，所以，故B错误；

所以，故C正确，D错误，

故选：AC

12．如图，正方体的棱长为1，E为的中点.下列说法正确的是（    ）

A．直线与平面所成角是 B．在直线上存在点F，使EF⊥平面

C．直线与直线AD是异面直线 D．点B到平面的距离是

【答案】ABD

【分析】连接交于点，则可得到直线与平面所成角，求出这个角，可判断A，取与的交点为，利用线面垂直的判定定理可判断B，证明在平面上，可以判断C；的长就是点B到平面的距离，可判断D.

【详解】如图，由是中点，则它也是的中点，连接，

由知共面，显然在这个平面内，与共面，C错；

连接，，与的交点为，则平面，连接，，

正方体中，分别是中点，则，

由平面，平面，

则，又，与是平面内两相交直线，

∴平面，

∴平面，即平面，B正确；

设交于点，连接，则是直线与平面所成角，

在直角三角形中，，

∴，A正确；

由上可知点B到平面的距离就是，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．的展开式中的常数项为      .

【答案】581

【分析】先由，再利用二项式展开式的通项公式即可求解.

【详解】，

所以的展开式的通项为，

展开式的通项为，

所以当时，常数项为；

当时，，常数项为；

当时，，常数项为；

当时，，常数项为，

故的展开式中的常数项为

故答案为：581

14．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是       ．

【答案】

【分析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程.

【详解】直线与的交点为,

垂直于直线的直线方程可设为,

所以,即.

【点睛】本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．数列满足：，且是递增数列，则实数的范围是           .

【答案】（4,5）

【分析】根据是递增数列，列不等式组，解出的范围.

【详解】∵数列满足：，且是递增数列，

∴需满足，即

解得：，

即实数的范围是（4,5）.

故答案为：（4,5）

【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：

(1)分段函数的每一段都单调；

(2)根据单调性比较端点函数值的大小.

16．设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点，则     

【答案】/

【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程，结合已知列出方程求a的值即可.

【详解】由，得，

则，，

所以曲线在点处的切线方程为，

因为切线与y轴相交于点，

所以，解得

故答案为：

四、解答题

17．已知圆C经过三点.

(1)求圆C的方程；

(2)经过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答.

（2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答.

【详解】（1）设圆C的方程为，

由圆C经过三点，得，解得，

所以圆C的方程为

（2）由（1）知圆C：，即圆心，半径为5，

由直线l被圆C所截得的弦长为，得圆心C到直线l的距离，

而直线l经过点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

即，于是，得或，

所以直线l的方程为或

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

(1)求角B；

(2)若，求BC边上的高.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出，可得角的值；

（2）利用正弦定理整理条件得到，再由余弦定理即可解出c，进而得到BC边上的高.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得，即，

由余弦定理得

又，所以．

（2）由，得，

由余弦定理，得，

因为，解得，

所以BC边上的高为

19．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：

    （Ⅰ）根据表中数据能否判断有的把握认为“古文迷”与性别有关？

    （Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；

    （Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】（I）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III）分布列见解析，期望为.

【详解】（I）由列联表得

所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．

（II）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．　

即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人

（III）因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．

，，．

所以随机变量的分布列为

于是．

20．已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点．

(1)在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由；

(2)当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)存在，理由见解析

(2)

【分析】（1）取的中点F，连接EF，DF ，易得 ，则四边形DFEA是平行四边形，从而AD∥EF，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）根据四边形是矩形，结合平面平面，得到面，由，得到，再由，得到，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量，由求解.

【详解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面，理由如下：

如图所示：

取的中点F，连接EF，DF ，

 ∵DF是的中位线，

  ∴，

又  ，

∴  ，

∴四边形DFEA是平行四边形 ，

 ∴AD∥EF，

又面，面  ，

∴AD∥平面．

（2）∵四边形是矩形，

∴，，

又∵平面平面，

∴面，

∵，

∴  ，

∵侧面是菱形，，

∴是正三角形 ，

 ∵E是AC的中点，

∴，

以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，则，，

∴ ，

又平面的一个法向量，

  ∴，

∴平面与平面的夹角的余弦值是.

21．设数列的前n项和为，若点在直线上.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前n项和

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点在直线上建立数列递推关系式，通过化简后结合等比数列的定义确定数列是等比数列，并求得首项与公比，即可得到其通项公式；

（2）先根据数列的通项公式表示得到，然后利用错位相减法求数列的和.

【详解】（1）解：因为点在直线上，

所以，

当时，，

解得

当时，，

所以，

所以，

所以可知数列是首项为1，公比为5的等比数列，

所以.

（2）由（1）可知，，

所以，

所以.

所以,

则，

两式相减，可得

,

化简得.

22．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；

（2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值.

【详解】（1）由题设得，解得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）由，得，

由，得.

设、，则，，

所以点的横坐标，纵坐标，

所以直线的方程为.

令，则点的纵坐标，则，

因为，所以点、点在原点两侧.

因为，所以，所以.

又因为，，

所以，解得，所以.