2022-2023学年广东省清远市清新区第一中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省清远市清新区第一中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（   ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.

【详解】将5封信投入3个邮筒，每封信有3种选择，

故共有种不同的投法.

故选：B.

2．已知随机变量的分布列，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据离散型随机变量及其分布列的性质，计算即可.

【详解】解：，，，，，

，

故选：A.

3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A．－4 B．－3 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【详解】因为，所以，

当时，，

所以曲线在点处的切线的斜率等于3，

所以直线的斜率等于，

即，解得，

故选:D.

4．数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设向左移动次数为，分析出其服从二项分布，再计算即可.

【详解】此实验满足6重伯努利实验，设向左移动次数为，则，

根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次，

则，

故选：C.

5．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）

A．120种 B．240种 C．360种 D．480种

【答案】A

【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.

【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.

故选：A

6．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：

由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解.

【详解】因为，

所以，

即经验回归方程，

当时，，

所以，

即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，

故选：B

7．的展开式中，的系数为（　　）

A．60 B． C．30 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答.

【详解】因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用，

最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为，

所以的系数为60.

故选：A

8．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入元与年产量的关系是，

则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（    ）

A．150 B．200

C．250 D．300

【答案】D

【分析】利用分段函数模型表示出总利润元与年产量的关系，利用导数求解总利润最大时，年产量的值即可.

【详解】解：设总利润为元，则，

则令，得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，函数在时有极大值，则

当时，，函数单调递减，故当时，函数，

综上，当时，取极大值，也是最大值.

故选：D.

二、多选题

9．在的展开式中，二项式的系数和为256，则下列说法正确的是（    ）

A． B．展开式中各项系数和为256

C．第4项的二项式系数最大 D．展开式中所有系数的绝对值的和为4

【答案】AB

【分析】根据二项式定理及其性质计算逐一分析判断即可.

【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；

令，得，B选项正确；

时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；

设，

则，，，为负数，，，，，为正数，

故展开式中所有系数的绝对值的和为

，

令，得，D选项错误.

故选：AB.

10．给出以下四个说法，正确的有（    ）

A．如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个

B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

C．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

D．设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上

【答案】BCD

【分析】利用回归分析的相关定义对各个选项逐一分析判断即可得到结果.

【详解】选项A，因为经验回归方程必过样本点的中心，非样本点，故选项A错误；

选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；

选项C，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项C正确；

选项D，因为两个变量之间的线性相关系数为的绝对值越大，数据就越集中在回归方程附近，当时，点就在直线上了，所以选项D正确.

故选：BCD.

11．为了考察某种疫苗的预防效果，先选取某种动物进行实验，试验时得到如下统计数据：

现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（    ）

A．未注射疫苗发病的动物数为30只

B．从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为

C．在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关

D．注射疫苗可使实验动物的发病率下降约

【答案】BC

【分析】先根据题意填写列联表，然后利用独立性检验原理逐个分析判断即可.

【详解】因为从实验动物中任取一只，该动物“注射疫苗”的概率为0.5，

所以注射疫苗动物共有只，则未注射疫苗的动物有50只，

所以列联表如下

对于A，由上表可知未注射疫苗发病的动物数为20只，所以A错误，

对于B，从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为，所以B正确，

对于C，因为，所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关，所以C正确，

对于D，因为未注射疫苗的动物发病率为，注射疫苗的动物的发病率为，

所以注射疫苗可使实验动物的发病率下降约为，所以D错误，

故选：BC

12．已知，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用导数判断出单调性，作出的图像. 令，把题意转化为关于方程在内有2个不等实根.分离参数后，令，利用图像法求解.

【详解】记，则

所以在单调增，在单调减

所以的大致图像如下所示：

令，所以关于的方程有6个不同实根等价于关于方程

在内有2个不等实根.

即与在内有2个不同交点

又的大致图像如下所示：

又，

所以.

对照四个选项，AB符合题意.

故选：AB

三、填空题

13．某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有            种不同的方法．

【答案】

【分析】由题意，根据分组分配的做题原理，可得答案.

【详解】由题意，分2步分析：

①先5人中选出2人，安排到甲社区，有种方法，

②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有种方法，

则有种安排方式.

故答案为：.

14．某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差      ．

【答案】

【分析】依题意，再根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质计算可得．

【详解】解：同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，

且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．

记为遇到红灯的次数，则，

，

，．

故答案为：．

15．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有       ．（若，）

【答案】1359株

【分析】由正态分布及其对称性求得，即可求得结果.

【详解】由题意，，由正态分布的对称性可得

故株高在的约有株.

故答案为：1359株.

16．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示，．已知某地人群中患有此种癌症的概率为，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为             ．

【答案】

【分析】根据已知得出，与，再由条件概率公式与全概率公式计算得出结果.

【详解】由题意可得：

，，，

，

，

故答案为：.

四、解答题

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

(1)求角B的大小；

(2)若．且，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得，可求角B的大小；

（2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积.

【详解】（1）在中，由正弦定理 ，可得，

又由 ，得 即 ，

由，有

可得 又因为，所以 .

（2）．且，，

由余弦定理：，

有，解得，

∴.

18．已知数列的前项和为，，是公差为1的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)记，，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据等差数列的性质，结合即可求解的通项，进而可得的通项；

（2）根据裂项求和可得，再证明不等式.

【详解】（1）由是公差为1的等差数列，可得，

所以，

所以，

当时，，所以，

当时，也符合，所以.

（2），

所以

所以.

当时，取到最小值，此时取到最小值.

所以. 故得证.

19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面.

(1)求的值；

(2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）连接与交于点，求出，利用线面平行的性质可得出，由此可得出的值；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）解：连接与交于点，

因为底面是菱形，是的中点，

所以，且，所以.

因为平面，平面，平面平面，

所以 ，所以.

（2）解：因为底面是菱形，是的中点，，

因为，则，

由余弦定理可得，

所以，，所以.

因为平面，平面，平面，

所以，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

设，，则，

所以.

因为，所以，解得.

所以，，.

设为平面的法向量，则，得，

取，所以为平面的一个法向量.

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

20．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

(1)若，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；

(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由题意知，，利用二项分布的概率计算公式即可求解；

（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出，从而即可求解.

【详解】（1）解：由题意知，，

则；；

；；

.

则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为：

（2）解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；

方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，

每组两个样本化验呈阴性的概率为，设，

则；；.

所以，

若方案二比方案一更“优”，则，解得，

即，解得.

所以当时，方案二比方案一更“优”.

21．椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上运动，且的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率分别为，的两条直线分别交椭圆于点，，且，证明：直线恒过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据和求解；

（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，由求解；当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，由，利用韦达定理，求得k，t的关系，代入求解.

【详解】（1）由题意得，①

又，得，②

由①②得，．

又，

所以椭圆的方程为．

（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，

则，，所以，

解得．

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，得．

设，，则，，

则，

即，

依题可知，所以，代入直线方程，得，

即，联立方程组，

综上所述可知直线恒过定点．

22．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递区间为

(2)

【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；

（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域是，

当时，，

令得，所以函数在上单递递增；

令得，所以函数在上单调递减．

所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．

（2）恒成立，等价于恒成立，

令，

因为恒成立，所以在上单调递增，

所以，即，

所以恒成立，等价于恒成立

令，问题等价于恒成立

①若时，恒成立，满足题意；

②若时，则，所以，不满足题意；

③若时，因为，令，得，

，，单调递减，，，单调递增，

所以在处取得最小值，

要使得，恒成立，只需，

解得

综上：

【解法二】恒成立，等价于，

令

①若时，，所以在上单调递增，

，即，满足，

②若时，则， ，所以在上单调递增，

由，

函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；

所以，使得，不满足题意．

③若时，令，∴，

令，则在上单调递增，

函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；

则，；，，；，，

所以，，，

，，单调递减，，，单调递增，

只需即可，

∴，∴，

令，，∴在上单调递增，

，∴时，，，，

所以在上单调递增，∴，

即，

综上：

【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.