江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

这是一份江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．直线的倾斜角为，斜率为，若的取值范围是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．三棱柱中，为棱的中点，若，
则（ ）
A． B．
C． D．
5．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程（ ）
A． B．
C．D．
6．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为（ ）
A．棱的中点 B．棱的中点 C．棱的中点 D．棱的中点
7．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，多选或错选不给分，漏选得2分）
9．已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则C是圆
B．若，且，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为
D．若，则C是椭圆，其离心率为
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．平面
11．以下四个命题表述错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于
C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
12．已知曲线：，则（ ）
A．曲线围成的面积为
B．曲线截直线所得弦的弦长为
C．曲线上的点到点的距离的最大值为
D．曲线上的点到直线的距离的最大值为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知分别是双曲线的左右焦点，若，则_________
14．将一边长为和的长方形沿折成直二面角，若在同一球面上，则V球：VA-BCD
15．已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是
16．已知圆C：，点，在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，则点B的坐标为
四、解答题（17题10分，18~22题每小题12分）
17．（10分）已知点、；（1）求线段的垂直平分线的直线方程；
（2）若点、到直线的距离相等，求实数的值．
18．（12分）已知直线和圆；（1）若直线交圆于两点，求；（2）求过点的圆的切线方程
19．（12分）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为；（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程．
20．（12分）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．（1）求证：；（2）求点与平面的距离．
21．（12分）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，；（1）证明：平面平面；
（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
22．（12分）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为；（1）求轨迹的方程；
（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D．且，设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．
2025届高二年级第三次月考数学试卷答案
1、B 2、B 3、D 4、D 5、C 6、B 7、A 8、C
9、BC 10、ABC 11、BD 12、ABD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
18．解:（1）由题意，将圆C化为标准方程，得x+22+y-22=4
可得圆心为，半径
? ?????l0:x-y+2=0???d=-2+2-22=2
由垂径定理得
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，该直线是圆的一条切线，符合题意
②当直线的斜率存在时，由直线经过点，设直线方程为，
化简得，直线与圆相切，圆心到直线的距离为，
即，解得，此时切线方程为，
化简得；综上所述，所求切线有两条：与
19．【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）解：若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，直线的方程为
20．【详解】（1）如图，取AB中点O，连接交于,
∵为等边三角形，
∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故平面，
而平面，∴，
又∵,，
∴.
∴，
又∵平面,平面,，
∴平面，∵平面，∴.
（2）设点与平面的距离为，
∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，
∴,，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故⊥平面，
而平面，所以，，
∴在中，，
∴,则易得，
由（1）知，平面，
∴为三棱锥的高，
∴
又∵，
得.
故点与平面的距离为.
21. 【详解】（1）为等边三角形，
，
又四边形为梯形，，则，
根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，
平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，
所以PO，BD，OC两两垂直．
以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设且，则，
由三棱锥的体积为得：，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故．
所以平面与平面的夹角余弦值为：
.
22. 【详解】（1）由已知圆可化为标准方程：，即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知，两式相加得，，
所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以，轨迹的方程为.
（2）由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，，则椭圆的右焦点坐标为，
设直线AB方程为：，D坐标为．所以，
设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．恒成立，
由韦达定理知，且，，
则
．
故（定值）．