江西省宜春市上高二中2022-2023学年高二数学下学期第二次月考试题（Word版附答案）

2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷

一、单选题(共40分)

1．已知复数满足，（    ）

A． B． C． D．

2．某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（    ）

参考数据如下：，.

A．低于 B．低于 C．高于 D．高于

3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B．5 C． D．

5．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 

C．3 D．4

6．如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（    ）

A．220 B．200 

C．190 D．170

7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． 

C． D．

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）

A．999 B．749 C．499 D．249

二、多选题(共20分)

9．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ）

A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则

C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点

10．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，取得最大值

C．

D．使得成立的最大自然数是15

11．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）

A．

B．的展开式中项的系数为56

C．奇数项的二项式系数和为128

D．的展开式中项的系数为56

12．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ）

A．

B．

C．当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为

D．当时，

三、填空题(共20分)

13．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______.

14．已知随机变量,且，若,则的最小值为_________．

15．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．

16．设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为___________

四、解答题(共70分)

17．已知向量，且函数．

(1)求函数的单调增区间．

(2)若中，分别为角对的边，，求的取值范围．

18．已知正项数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

19．如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，，，，分别为线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值.

20．2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．

(1)甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；

(2)求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．

21．已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）：

经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归方程为.

(1)估计对应的需求量y（结果保留整数）；

(2)若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.

附：相关系数，.

22．已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.

2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷答案

DCCCD  CAA

9．BC  10．ABC  11．AC  12．BC

13．  14．  15．##  16．

17．(1)  (2)

【详解】（1）因为向量，且函数

所以

令，解得，

所以，函数的单调增区间为．

（2）因为，

所以，即，

因为，所以，

因为，所以，因为，所以，

所以,所以，

所以；

所以，的取值范围为.

18．(1)  (2)

【详解】（1）当时，，

解得，

由当时，，

得当时，，

两式相减得，即，

又，所以，

又适合上式，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以；

（2），

则，，

两式相减得

，所以.

19．(1)证明见解析  (2)

【详解】（1），，，，

即，，，

分别为中点，四边形为平行四边形，，；

，为中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，；

，平面，平面.

（2）连接，

由（1）知：平面，则与平面所成角为，即，

在中，，，

，解得：，

，；

设，取中点，连接，

分别为中点，，又平面，

平面，又，

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.

20．(1)  (2)分布列见详解，

【详解】（1）甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，

最终甲以11：9赢得比赛的概率为：．

（2）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3．

，   ，

，  ，

∴随机变量X的分布列为：

∴．

21．(1)   (2)

【详解】（1）记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，

由题设知，.

因为回归直线经过样本中心，所以，解得.

即，

所以时对应的需求量（件）.

（2）设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，，，.

所以相关系数.

22．(1)   (2)证明见解析

【详解】（1）解：设，则，

因为，所以，

又，所以，整理得.

（2）证明：设、、，

所以，

所以直线的方程为，

因为点在直线上，

所以，即，解得①，

同理可得直线的方程为，

又在直线上，所以，易得，

解得②，

所以直线的方程为，即③，

将②式代入③式化简得，又，

即，

即，

所以直线恒过定点.