2023-2024学年福建省连城县第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案

2023-2024学年福建省连城县第一中学高二上学期8月月考数学试题

一、单选题

1．数列的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.

【详解】解：由题意，

在数列中，

分母是以2为首项，2为公比的等比数列

分子是以3为首项，2为公差的等差数列，

∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，

∴比例系数为

∴数列的一个通项公式为：

故选：C.

2．在数列中，，，若，则（    ）

A．675 B．674 C．673 D．672

【答案】A

【分析】首先判断数列为等差数列，再代入通项公式，即可求解.

【详解】由题意可知，，所以数列是公差为3的等差数列，

，得.

故选：A

3．在等差数列中，，，则数列的公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】将已知条件转化为的形式，由此求得.

【详解】在等差数列中，设公差为d，

由，，得，解得.

故选：B

4．记等比数列的前项和为，若则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】由等比数列的性质可得，即，解得.

故选:C

5．记等差数列{}的前n项和为，若，，则=

A．34 B．35 C．68 D．70

【答案】B

【分析】由题意可得进而可得，而，代入即可得答案．

【详解】，又故，得，

则=

故选:B

【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题．

6．设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比的值为（    ）

A． B．1 C．或1 D．或1

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.

【详解】当时，，符合题意；

当时，则，所以，

即，即，解得；

综上所述：或，即数列的公比的值为或1.

故选：D.

7．已知数列中，，，则能使的n的值可以为（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18

【答案】B

【分析】通过数列递推公式的迭代，可发现数列的周期性，则选项可定.

【详解】因为，，

所以，

，

，

如此迭代下去，可知数列的周期为3，又

所以，，

故选：B.

8．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数构成数列，记为该数列的第项，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据归纳推理以及等差数列的求和公式化简计算即可.

【详解】由题意，，，，…

则，

故选：B

二、多选题

9．在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列

【答案】BC

【分析】利用已知结合等比数列的通项公式求公比，进而写出通项公式、前n项和公式，结合各选项判断正误即可.

【详解】由题设，，即，

由可得：，

∴，，

∴且公差为；且.

综上，A、D错误，B、C正确.

故选：BC

10．下列命题中，正确的有（    ）

A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件

B．数列的通项为，若为单调递增数列，则

C．等比数列中，，是方程的两根，则

D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则

【答案】AD

【分析】对A：根据等比数列的定义结合充分、必要条件分析判断；对B：根据数列递增数列的定义分析判断；对C：根据等比数列的通项公式结合等比数列的下标性质分析判断；对D：根据等差数列前n项和公式分析判断.

【详解】A：因为当时，显然数列不可能是等比数列，

但是是公比为2的等比数列一定有成立，

因此选项A正确；

B：因为为单调递增数列，

所以有，

因为函数是减函数，所以，

因此选项B不正确；

C：因为在等比数列中，设公比为 ，，是方程的两根，

所以有，于是有，

而，

所以，因此选项C不正确；

D：因为等差数列，的前n项和为分别为，，

所以由，

因此选项D正确，

故选：AD

11．设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（    ）

A． B．

C．与均为的最大值 D．当时，n的最小值为13

【答案】ABD

【分析】通过数列的性质可将化为，结合，则选项A可判定；由，，，，通项公式构建公差的不等式组， 则选项B可判定； 等差数列中，，可知的最大值为，则选项C可判定；将，转化为前n项的和的正负，即可判定D选项.

【详解】等差数列中，则，即，

所以由等差数列的性质可得，又，所以，故A正确；

已知，，，，

所以，，，

解得，故B正确；

等差数列中，，可知的最大值为，故C错误；

等差数列中，所以，

继而可得，又，故D正确.

故选: ABD.

12．对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前n项和为，则下列关于数列的描述正确的有（    ）

A．数列为等差数列 B．数列为递减数列

C． D．记，则数列有最大项

【答案】ACD

【分析】由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．

【详解】由已知可得，

所以，

所以时，，

得时，，

即时，，

当时，由知，满足．

所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，

显然该等差数列是递增数列，所以B不正确，

所以，所以

故，故C正确．

，假设是最大项，

则有，

因此数列有最大项，故D正确，

故选：ACD．

【点睛】关键点睛：运用所给的定义，结合等差数列的定义是解题的关键.

三、填空题

13．在等比数列中，如果，，那么          ．

【答案】128

【分析】先设等比数列中可设公比为，再通过，求出，继而的值可求.

【详解】等比数列中可设公比为，

则,

所以.

故答案为：128.

14．设等比数列的前n项和为，若，则      .

【答案】

【分析】根据数列前n项和求出数列的前3项，然后利用等比中项性质求解验证即可.

【详解】根据题意，等比数列中，有，

则，，

，

因为是等比数列，则有，解得.

当时，，当时，则；

当时，则，也满足；

故，符合题意.

故答案为：.

四、双空题

15．已知函数，则对任意实数x都有          ；且          ．

【答案】     1     1011

【分析】通过可先求出,接着可求的值;再用倒序相加法可求的值.

【详解】，

，

，

,,

令，

则，

两式相加可得；，解得

故答案为：1；1011.

五、填空题

16．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为          ．

【答案】

【分析】对递推公式进行变形构造等比数列，根据等比数列前n项和公式、比较法进行求解即可.

【详解】，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

因此，

所以，设

，

所以数列是单调递增数列，

因此有，即，

所以数列是单调递增数列，

而，

，

因此满足的最小的自然数n的值为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用差比法判断数列的单调性是解题的关键.

六、解答题

17．已知是等差数列的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．

【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.

【分析】（1）利用公式，进行求解；

（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.

【详解】（1）由题意可知：，当时，，

当时，，

当时，显然成立，∴数列的通项公式；

（2），

由，则时，取得最大值28，

∴当为4时，取得最大值，最大值28．

【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.

18．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．

【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式

（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．

解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列

∴设其公比为q，q＞0

∵a3=a2+4，a1=2

∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1

∵q＞0

∴q="2"

∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n

（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列

∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1

∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．

19．我县2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，我县每年新建住房面积平均比上一年增长8％．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底，

(1)我县历年所建中低价房的累计面积（以2019年为累计的第一年）将首次不少于2250万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％？（参考数据：，）

【答案】(1)2024年年底

(2)2024年年底

【分析】（1）根据题意可知中低价房的面积构成等差数列，根据等差数列前项和公式即可求得结果；

（2）易知新建住房面积构成等比数列，求出其通项公式再根据比例关系利用参考数据化简即可求得结果.

【详解】（1）设中低价房的面积构成数列，

由题意知是等差数列，且，公差，

则累计面积，

令，即，

又，解得．

故到2024年年底，我县历年所建中低价房的累计面积将首次不少于2250万平方米．

（2）设新建住房面积构成数列，

由题意知是等比数列，且，公比，

则该年建造住房面积，

由（1）知当年建造的中低价房的面积，

由题意知，即，

即，

由，，

即当时，，，

所以，

当时，，，

则，

则满足上述不等式的最小正整数，

故到2024年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％．

20．已知数列的前n项和为，满足，且是2与的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差中项的性质，结合前n项和的性质、等比数列的定义进行求解即可；

（2）根据n的奇偶性，分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）因为是2与的等差中项，所以，①

当时，，②

①－②得：，

∴，

又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列．∴；

（2）因为，

当n为偶数时，

．

当n为奇数时，

，

综上所述：数列的前n项和为．

21．已知数列中，，，数列满足．

(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）可以直接利用等差数列的定义结合题中条件进行证明和求解；也可以对题中条件，进行变化得到，进而，即可证明和求解.

（2）首先得到数列的通项公式，利用错位相减法进行求和.

【详解】（1））法一：取数列的任意相邻两项与，

∴．

又，且，∴，

∴是以为首项，为公差的等差数列．

∴．

法二：∵，∴，

∴，∴，

∵，即，

又∵，∴，

∴是以为首项，为公差的等差数列．

∴．

（2）由（1）得，∴，

∴，①

∴，②

①－②得：，

所以．

22．已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．

(1)求与的通项公式；

(2)设，求数列的前项和；

(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；

（2）采用分组求和的方式，根据等比数列求和公式和裂项相消法可求得；

（3）将恒成立的不等式转化为，令，利用作差的方式可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由得：，又，，

，.

（2）由（1）得：，

.

（3）由（2）得：对任意的，恒成立，

对任意的，恒成立；

令，则；

则当时，；当时，；

，，即实数的取值范围为.