福建省连城县第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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班级_________ 姓名_________________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法求出，即可求出.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量坐标运算和向量的数量积的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】因为向量，可得，所以A不正确；
由，所以与不共线，所以B不正确；
由，所以，所以C不正确；
由，所以，所以D正确.
故选：D.
3. 已知为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．
【详解】由，得，
.
故选:．
4. 若向量，的夹角为120°，，则|（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】将平方，利用向量数量积的定义即可求解．
【详解】∵，
∴．
故答案为：
5. 已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】由题意，
故为实数
或
故选：A
6. 已知是关于x的方程的根，则实数（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.
【详解】因为是关于x的方程的根，则另一根为
由韦达定理得，所以
故选：B
7. 在中，若，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理及和角公式化简即可求得结果.
【详解】在中，，由正弦定理可知，，即，
,
,
,
,
,
,即.
所以是直角三角形.
故选：A.
8. 已知是边长为4的正三角形的边上的动点，则（ ）
A. 最大值为16B. 是定值24C. 最小值为4D. 是定值4
【答案】B
【解析】
【分析】设，，，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】解：设，，，则，
所以，，
，
又，
，
是定值；
故选：B.
二、多选题（每小6分，共18分）
9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则
C. 若，则此三角形有2解
D. 若，则为等腰三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】运用余弦定理可判断A项，运用大边对大角及正弦定理可判断B项，作图可判断C项，解三角函数方程可判断D项.
【详解】对于A项，因为，所以，
所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立；
对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确；
对于C项，如图所示，

因为，
所以此三角形有2解，故C项正确；
对于D项，因为，，
所以或，即：或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立.
故选：BC.
10. 已知非零向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律判断A、B，根据投影向量的定义判断C，根据向量共线的充要条件判断D.
【详解】解：因为、为非零向量，
对于A：若，则，即，
所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，即，故B错误；
对于C：向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D：因为、为非零向量，所以向量、共线充分必要条件是存在唯一的实数，使，故D正确；
故选：ACD
11. 已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为的中点
B. 若，则为的重心
C. 若，则为的垂心
D. 若，则在的中位线上
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，，，所以为的中点，A正确.
B选项，如下图所示，设是的中点，由得，即三点共线，且，所以是的重心.
C选项，由，得，
所以，所以在边的高上，不一定是垂心，C错误.
D选项，如下图所示，设分别是的中点，，即，，，即三点共线，且，所以在的中位线上.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若复数(是虚数单位）则z的虚部为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用复数的除法化简，然后利用复数的虚部念求解.
【详解】因为复数，
所以z的虚部为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，属于基础题.
13. 在中，已知，，，则边的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合正弦定理，即可求解．
【详解】因为，，可得，
由正弦定理可得．
故答案为：.
14. 设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】向量与向量夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可．
【详解】由题意，
与向量的夹角为钝角，则，
即，解得，
又由，得，∴所求的范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意去除两向量共线的情形．
四、解答题
15. 实数分别取什么数值时，复数满足下列条件：
（1）纯虚数；
（2）对应点在第一象限内．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的概念列出式子即可求解；
（2）得出对应的点，根据第一象限点的特征列出不等式即可求解.
【详解】（1）若为纯虚数，则，解得．
（2）对应的点为在第一象限，则，解得．
16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，.

（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
【小问2详解】
因为，与夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
17. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得结果；
（2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得.
【小问1详解】
由，得，
由正弦定理可得，
即；
因为，所以可得，又因为，
所以．
【小问2详解】
易知，所以；
如下图所示：
因为为角平分线，所以，
即，即
而，
所以．
18. 在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
（1）求角B的大小；
（2）AC边上的中线，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；
若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.
（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.
【小问1详解】
解：若选①：在中，因为，
由，
可得，
由正弦定理得，即，
则，
又因为，故.
若选②：由，可得，所以，
因为，所以.
若选③：因为，
正弦定理得，
又因为，所以，
即，
因为，，所以，
又因为，可得；
综上所述：选择①②③，都有.
【小问2详解】
解：由，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.
19. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）
（1）求两处景点之间的距离；
（2）栈道所在直线与两处景点连线是否垂直？请说明理由.
【答案】（1）
（2）不垂直，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先在和中求出AD、CD的长度，结合，用余弦定理即可求解；
（2）通过计算即可判断所在直线与两处景点的连线不垂直.
【小问1详解】
由题意可知，在中，
所以，所以为等腰三角形，
所以，
在中，，，
由正弦定理：，即，解得
在中，，
由余弦定理：
所以两处景点之间的距离为
【小问2详解】
在中，因为，
所以栈道所在直线与两处景点的连线不垂直.