福建省连城县第一中学2023-2024学年高一上学期月考（一）数学试卷(含答案)

这是一份福建省连城县第一中学2023-2024学年高一上学期月考（一）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设全集为R，集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
2、下列选项中表示同一函数的是( )
A.与
B.，
C.，
D.，
3、若集合，则能使成立的所有a组成的集合为( )
A.B.C.D.
4、若，则的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
5、使不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A.
B.
C.或
D.
6、定义集合运算，，，若，，则集合的子集个数为( )
A.14B.0C.31D.32
7、已知 QUOTE x>0,y>0 x>0,y>0，且 QUOTE 1x+1y=1 Errr! Digit expected.，若 QUOTE x+y>m2+3m x+y>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. QUOTE -4,6 -4,6B.C.D.
8、一只蚂蚁从正方形的一个顶点A出发，沿着正方形的边逆时针运动一周后回到A点.假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变，则蚂蚁与点A的距离s随时间t变化的大致图像为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9、实数a，b，c，d满足： QUOTE a>b>0>c>d a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
10、下列命题中的真命题有( )
A.若正实数x，y满足，则的最小值为8
B.的最小值为2
C.当时，的最大值是5
D.若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
11、下列命题的否定是假命题的有( )
A.，
B.所有的正方形都是矩形
C.，
D.至少有一个实数x，使
12、已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数在上是减函数
C.
D.不等式的解集为
三、填空题
13、已知集合，，存在实数a，使得，则实数a的值为_________.
14、若函数是减函数，则实数a的取值范围为_________.
15、已知函数，，则的最小值为_________.
四、双空题
16、连城一中开展小组合作学习模式，高一(10)班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“，”是假命题，求m的取值范围.乙同学略加思索，给了甲同学一道题：若命题“，”是真命题，求m的取值范围.你认为两名同学题中m的取值范围是否一致?_________.(填“是”或“否”)，m的取值范围为_________.
五、解答题
17、已知集合，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若集合，，且，求.
18、已知集合，集合.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
19、已知函数 QUOTE fx=x+12x+12 fx=x+12x+12.
（1）当 QUOTE x∈1,+∞ x∈1,+∞时，判断函数 QUOTE fx fx的单调性并证明；
（2）若不等式 QUOTE f1+2x2>fx2-2x+4 f1+2x2>fx2-2x+4成立，求实数x的取值范围.
20、已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为400人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为.
（1）求的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？
21、已知函数，，.
（1）在图1中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，，请分别用图象法和解析式法表示函数.（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
22、已知二次函数.
（1）若的解集为，解关于x的不等式.
（2）若对任意，恒成立，求的最大值.
（3）已知，，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
参考答案
1、答案：B
解析：，，
，.
2、答案：D
解析：对于A，的定义域为，而定义域为R，
故二者不是同一函数；
对于B.定义域为R，定义域为，
定义域不同，与不是同一函数.
对于C，定义域为R，定义域为，定义域不同，
与不是同一函数.
对于D，，与定义域与对应关系都相同，
与是同一函数.
故选：D.
3、答案：C
解析：当时，即，时成立；
当时，满足，解得.
综上所述：.
故选：C.
4、答案：B
解析：，，，
当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为.
故选：B.
5、答案：A
解析：解不等式，得不等式的解集为或.
A，B，C，D四个选项中，只有A中的不等式对应的集合为或的真子集.
故选：A.
6、答案：D
解析：，，
且，，，
.
集合中共有5个元素，
集合的所有子集的个数为.
故选：D.
7、答案：C
解析：因为 QUOTE x>0 x>0， QUOTE y>0 y>0，且 QUOTE 1x+1y=1 Errr! Digit expected.，
所以 QUOTE x+y=x+y1x+1y=1+yx+xy+1 x+y=x+y1x+1y=1+yx+xy+1
QUOTE ≥2+2yx⋅xy=4 ≥2+2yx⋅xy=4，
当且仅当 QUOTE yx=xy yx=xy，即 QUOTE y=2 y=2， QUOTE x=2 x=2时取等号，
所以 QUOTE x+y≥4 x+y≥4，因为 QUOTE x+y>m2+3m x+y>m2+3m恒成立，所以 QUOTE m2+3m<4 m2+3m<4，
即 QUOTE m-1m+4<0 m-1m+4<0，解得 QUOTE -4故选：C.
8、答案：A
解析：设蚂蚁的速度为v，正方形的边长为a，则.如图，
当蚂蚁在线段AB上，即时，，其图像为线段；
当蚂蚁在线段BC上.即时，，其图像为曲线；
当蚂蚁在线段CD上，即时，，其图像为曲线；
当蚂蚁在线段AD上，即时，，
其图像为线段.结合各选项可知，选项A符合题意.
故选：A.
9、答案：ACD
解析：因为 QUOTE 0>c>d Errr! Digit expected.，所以 QUOTE c2令 QUOTE a=2 a=2、 QUOTE b=1 b=1， QUOTE c=-1 c=-1， QUOTE d=-2 d=-2，满足 QUOTE a>b>0>c>d a>b>0>c>d，
此时 QUOTE a-c=b-d a-c=b-d，故选项B错误；
因为 QUOTE a>b>0>c>d a>b>0>c>d，所以 QUOTE ad所以 QUOTE ad因为 QUOTE a>b>0>c>d a>b>0>c>d，则 QUOTE ac-bd=ad-bccd ac-bd=ad-bccd，
因为 QUOTE ad0 cd>0，所以 QUOTE ac-bd=ad-bccd<0 ac-bd=ad-bccd<0，
所以 QUOTE ac故选：ACD.
10、答案：AC
解析：对于选项A.，
当且仅当，时等号成立，故选项A正确；
对于选项B.，
但无解，所以等号不成立，故选项B错误；
对于选项C，因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D，由得，
故，
当且仅当时取等号，故选项D错误.
故选：AC.
11、答案：ABD
解析：因为ABD都是真命题，C为假命题，所以ABD的否定是假命题.
故选：ABD.
12、答案：ABD
解析：对于A，令，得，
所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以等价于，
又在上是减函数，且，所以，
解得，故D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：，，
或，，
故答案为：.
14、答案：
解析：由题意可得， QUOTE -a≥1,a<0,12+2a×1+3≥a×1+1, -a≥1,a<0,12+2a×1+3≥a×1+1,
解得，则实数a的取值范围是.
故答案为：.
15、答案：1
解析：的图象如图所示，
故的最小值为1，
故答案为：1.
16、答案：是；
解析：因为命题“，”的否定是“，”，
而命题“，”是假命题，则其否定“，”为真命题，
所以两名同学题中m的取值范围是一致的.
由题意可得，即m的取值范围是.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1），，.
（2），，，
QUOTE 9-3a+3=0,18-3b+b=0, Errr! Digit expected.解得， QUOTE a=4,b=9, a=4,b=9,
，
，
.
18、答案：(1)或
(2)存在实数
解析：(1)由题意，，所以或，
因为，所以或，解得或，
所以实数m的取值范围是或.
(2)假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
则，即，则，解得，
故存在实数，使得是的必要不充分条件.
19、答案：（1）在 QUOTE 1,+∞ Errr! Digit expected.上单调递增
（2）实数x的取值范围是 QUOTE -∞,-3∪1,+∞ -∞,-3∪1,+∞
解析：（1）在 QUOTE 1,+∞ Errr! Digit expected.上单调递增，理由如下：
任取 QUOTE x1 x1， QUOTE x2∈1,+∞ x2∈1,+∞，且，
QUOTE =x1-x21-12x1x2=x1-x22x1x2-12x1x2 =x1-x21-12x1x2=x1-x22x1x2-12x1x2，
因为 QUOTE 1≤x11 x1x2>1， QUOTE 2x1x2-1>0 Errr! Digit expected.，
所以 QUOTE x1-x22x1x2-12x1x2<0 x1-x22x1x2-12x1x2<0，即 QUOTE fx1-fx2<0 fx1-fx2<0，可得 QUOTE fx1所以在 QUOTE fx fx QUOTE 1,+∞ Errr! Digit expected.上单调递增.
（2）因为 QUOTE 1+2x2≥1 Errr! Digit expected.， QUOTE x2-2x+4=x-12+3>1 x2-2x+4=x-12+3>1，
由（1）得在 QUOTE fx fx QUOTE 1,+∞ Errr! Digit expected.上单调递增，
因为 QUOTE f1+2x2>fx2-2x+4 f1+2x2>fx2-2x+4，所以 QUOTE 1+2x2>x2-2x+4 Errr! Digit expected.，
即 QUOTE x2+2x-3>0 x2+2x-3>0，解得： QUOTE x<-3 x<-3或 QUOTE x>1 x>1，
所以实数x的取值范围是 QUOTE -∞,-3∪1,+∞ -∞,-3∪1,+∞.
20、答案：（1）发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为（人）
（2）当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大
解析：（1）当时，设，则，解得.
由题意可得.
所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为（人）.
（2）当时，
（元），
当且仅当时，等号成立；
当时，，此时函数单调递减，
则，当且仅当时，等号成立.
综上所述，当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大.
21、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），的图象如下图所示.
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述： QUOTE M(x)=-x+1,x≤0,(x-1)2,0图象如下图所示.
22、答案：（1）解集为
（2）的最大值为1
（3）当且仅当时“=”成立
解析：（1）的解集为，
，，，，
，
解集为.
（2）对任意，恒成立，
，且，
，，
故，
，当，时取“=”，
的最大值为1.
（3）由对于一切实数x恒成立，可得，
即，
由存在，使得成立可得，
，
，又，
，
当且仅当时“=”成立.