2022-2023学年重庆市北碚区高二上学期10月月考数学试题含答案

2022-2023学年重庆市北碚区高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】结合递推关系式依次求得的值.

【详解】因为，，

所以，得．

由，得.

故选：C

2．若向量，满足条件，则x的值为（    ）

A． B．2 C．0 D．1

【答案】B

【分析】由题设条件，利用向量数量积的运算性质有，由数量积的坐标表示列方程，即可求x的值.

【详解】由，即，

则，

∴1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.

故选：B

3．已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．106 B．53 C．48 D．36

【答案】D

【分析】由已知条件可得，再利用等差数列的求和公式及性质即可得解.

【详解】，，

，则.

故选：D

4．设数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由递推关系求得，再计算出．

【详解】因为，，，所以.

故选：D．

5．数列满足＝，＝1，＝2，则＝（    ）

A． B．1 C．4 D．8

【答案】C

【分析】利用数列的递推关系，求出，，，，，发现

数列呈周期性变化进而可以求出.

【详解】由＝，＝1，＝2，得，

，，，，

，所以数列的周期为.

所以.

故选：C.

6．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】C

【分析】设每日织布增长x尺，根据题意，并利用等差数列的求和公式列出方程求解即可.

【详解】设每日织布增长x尺，则，

即，解得.

故选：C.

7．已知数列满足，（且），数列的前n项和为Sn，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由递推关系可得，由此可化简求出.

【详解】因为（且），同除以，得，

所以，

，所以，即.

故选：A.

8．已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ）

A． B． C．0 D．4

【答案】B

【分析】设，由已知得，整理得，由恒等式思想可求得答案.

【详解】解：设，则，即，又，所以，即，

整理得，所以，解得，所以，

故选：B.

二、多选题

9．公差不为零的等差数列满足，为前项和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．（）

C．当时， D．当时，

【答案】BC

【解析】设公差d不为零,由，解得，然后逐项判断.

【详解】设公差d不为零,

因为，

所以，

即，

解得，

，故A错误；

，故B正确；

若，解得，，故C正确；D错误；

故选：BC

10．已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由平行平面的法向量共线，可求解.

【详解】设平面的法向量可能为，则由题意可得，

对于选项，，满足题意；

对于选项，设，无解，所以不符合题意；

对于选项，设，无解，所以不符合题意；

对于选项，，满足题意．

故选：AD．

11．已知等差数列的前项和为，公差，且记，，，下列等式可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对于选项A、B、D，依题意，先由数列的项表示出选项中数列中的项，再由等差数列的通项公式进行化简，得出与的关系式，由已知判断正误；选项C，直接由等差数列通项公式进行化简，得出与的关系式，由已知判断正误.

【详解】A选项，，，，

若，则，

即，解得，与已知矛盾，故A不成立；

B选项，，，，

，所以B成立；

C选项，若成立，则，

，，满足条件，故C可能成立．

D选项，，若，则，

，，

，，与题设矛盾，故D不可能成立．

故选：BC．

12．若将正方形沿对角线折成直二面角，则（    ）

A．与所成的角为

B．与所成的角为

C．与平面所成角的正弦值为

D．平面与平面所成角的正切值是

【答案】AD

【分析】取中点，连接，，若以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求解：

利用，可以判断选项A；

求出，，用向量法求与所成的角为，即可求出，判断选项B；

求出平面的一个法向量，和，用向量法求与平面所成的角即可求出，判断选项C；

分别求出平面和平面的一个法向量和，用向量法求平面与平面所成的角，判断选项D.

【详解】由题意，取中点，连接，，若将正方形沿对角线折成直二面角，则，，，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，.

由题意易得，，因为，所以，则选项A正确；

，，所以，所以与所成的角为，则选项B错误；

设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，且，设与平面所成的角为，所以，则选项C错误；

由题意易知平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以，设平面与平面所成的角为，则，所以，，所以平面与平面所成角的正切值，则选项D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．在数列中，，则           .

【答案】

【分析】根据已知条件求得，用累乘法求得.

【详解】依题意，，

即，

所以

.

故答案为：

【点睛】累乘法求数列的通项公式，主要把握住.

14．已知数列的前项和，则数列的通项公式是      .

【答案】

【分析】根据求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列的通项公式.

【详解】解：当时，，所以，

当时，，即得到，

因为①，所以当时，②，①②得，

当时，不满足，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，注意验证的情况，属于中档题.

15．在三棱锥中，平面，则二面角的正切值为           .

【答案】2

【分析】根据题意分别求出，，即可求出二面角的余弦值，则可求出答案.

【详解】因为平面，平面、平面.

所以，.

在中：;

在中：;

在中：.

在中：.

所以二面角的余弦值.

正弦值.

所以二面角的正切值.

故答案为：2.

【点睛】本题考查二面角的正切值.属于基础题.二面角的求法常有：几何法、向量法.

16．已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为        ．

【答案】

【分析】先由，求得数列的通项公式，再由错位相减法求出，再利用不等式恒成立即得.

【详解】因为，所以当时， ，即，

当时，有，

所以，即，

因此数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，因为，

所以，

，

得，

因此．

由恒成立得恒成立，

因为，所以，

即，所以．

故答案为：．

【点睛】数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

四、解答题

17．设为等差数列的前项和，已知，.

(1)求首项和公差的值；

(2)当为何值时，最大，并求出的最大值.

【答案】（1），；（2）或时，有最大值5.

【解析】(1)等差数列用通项公式及前项和公式列方程组即可求出；

(2) 等差数列前项和是关于的二次函数，利用函数求最值．

【详解】(1)依题意得：，

解得，.

(2) ，

因为，所以或时，有最大值5.

【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；

(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．

18．如图.在正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面ACE；

(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得.

（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）如图所示：

，

连接BD与AC交于点O，

因为O，E为中点，

所以,又平面，平面，

所以平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系

令，所以

设平面的一个法向量为

所以，令

所以，

所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值

19．在四棱锥中，，，，，，，，．

（1）求证：面；

（2）已知点F为中点，点P在底面上的射影为点Q，直线与平面所成角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在直角梯形中先求出，然后可求得，从而可证明，由线面垂直判定定理证明线面垂直；

（2）由（1）得面面垂直，知在上，为直线与平面所成的角，

，设（），求出三棱锥的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时的值，得为中点，从而有，为异面直线与所成角（或补角），由余弦定理可得．

【详解】（1）证明：，，，，，，

∴，又，∴，，，

由余弦定理得，

又，

∴，∴，

∵，又，平面，

∴平面．

（2）由（1）平面．平面，

∴平面平面，∴点在上，为直线与平面所成的角，

，

设（），则，，

，

，当且仅当时等号成立，

则当最大时，，∴为中点，

∵为中点，∴，

∴为异面直线与所成角（或补角），

，则由平面得，又，

则，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

20．已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）先构建新数列，再求出并构建方程，最后求出即可.

（2）先整理为，再利用裂项相消法求即可.

【详解】（1）由题意，令，设数列的前项和为，则.

当时，；

当时，.

∴数列是常数列，即，

故，；

（2）由（1）知，，

∴

.

【点睛】本题考查由递推关系求通项，裂项相消法求前项和，是基础题.

21．如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.

(1)证明：；

(2)当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.

（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.

【详解】（1）以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.

设，可得，

，，.

，.

因为，所以.

（2），设为平面DEF的法向量，则，

即，可取.

因为平面的法向量为，所以

.

由题设，可得，

所以.

点B到DFE平面距离.

22．已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*．

（1）设，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式．

（2）设，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．

【答案】（1）；（2）3

【详解】试题分析：

(1)结合递推关系可证得bn+1-bn2，且b1＝2，即数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列的通项公式为．

(2)结合通项公式裂项有求和有．据此结合单调性讨论可得正整数m的最小值为3．

试题解析：

（1）证明：bn+1-bn ．

又由a1＝1，得b1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，所以bn＝2+(n-1)×2＝2n，由，得．

（2）解：，所以．

 依题意，要使对于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为3．