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福建省连城县第一中学2024-2025学年高一上学期暑期月考（开学）数学试题（解析版）
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这是一份福建省连城县第一中学2024-2025学年高一上学期暑期月考（开学）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，，然后利用集合的交集可求出.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：B.
3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案．
【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程有实数根，即．
故选：A．
4. 设为全集，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两集合之间关系，由补集的性质，以及充分条件和必要条件的概念，可直接得出结果.
【详解】因为为全集，若，则；若，则；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
点睛】结论点睛：
判定命题的充分条件和必要条件时，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62%B. 56%
C. 46%D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】由容斥原理即可得解..
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
6. 设集合，，，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解.
【详解】，，
中的元素为点，故，
故选：B
7. 设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A. p1B. p2C. p3D. p4
【答案】C
【解析】
【分析】根据含量词的命题，分析其真假，即可求解.
【详解】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C
8. 定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A. 2B. 6C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.
【详解】因为，，，
所以，又集合有3个元素，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意.
综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论.
【详解】因为，
若，则，
当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上可得.
故选：ABD
10. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图验证B,C,D再利用交集补集定义判断A.
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误，
因为，，
所以，故A正确.
故选：AC
11. 设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（ ）
A. 集合为封闭集B. 集合为封闭集
C. 封闭集一定是无限集D. 若A为封闭集，则一定有
【答案】BD
【解析】
【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解
【详解】对于A，在集合中，
不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合，
设x，，则，，，，
，，，
集合为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确．
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“”的否定是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由命题否定的定义即可求解.
【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”.
故答案为：.
13. 已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数组成的集合是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的子集的个数得到集合中只有一个元素，然后分和两种情况求解即可.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素，即方程只有一个解，
当时，，只有一个解，满足要求；
当时，，解得，所以或0.
故答案为：.
14. 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据题中定义，运用特例法进行求解即可.
【详解】解析不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}，当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．
故答案为：27
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为R，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合交并补的定义即可求解，
（2）根据，即可列关系式求解.
【小问1详解】
因为，，则，
可得或，
所以或
【小问2详解】
因为，可知，且，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为
16. 已知集合，，且.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，又由题知，可得，即可求得的取值范围；
（2）由，则，由，则要满足，解得，则的取值范围是2,4.
小问1详解】
∵，又由题知，所以，
解得，故的取值范围是.
【小问2详解】
由于，又，所以，所以，
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，故的取值范围是2,4.
17. 已知集合，集合.
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；
（2）利用集合间的基本关系计算即可.
【小问1详解】
∵是的必要不充分条件，
∴是A真子集.
①当时，，
②当时，∴，解得.
∴实数的取值范围为.
【小问2详解】
由，
则①当时，，
②当时，可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
18. 设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或或或或
.
【解析】
【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；
（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围.
【详解】由题意，
（1）由可知，，
即是方程的解，
所以，
即，解得：或，
当时，则，解得，
此时，满足，
当时，则，解得，
此时，满足.
所以实数的值是或；
（2）
，
所以 ，
对于方程，
①当，即时，此时，满足条件；
②当时，，即，，不满足条件；
③当时，即时，此时只需且，
将2代入方程得，解得或，
将代入方程得，解得，
所以且且，
综上可知，的取值范围是：
或或或或
19. 给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
（1）分别判断集合与是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求值；
（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质
（2）
（3），，或
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
【小问2详解】
若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
【小问3详解】
首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，，然后利用集合的交集可求出.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：B.
3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案．
【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程有实数根，即．
故选：A．
4. 设为全集，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两集合之间关系，由补集的性质，以及充分条件和必要条件的概念，可直接得出结果.
【详解】因为为全集，若，则；若，则；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
点睛】结论点睛：
判定命题的充分条件和必要条件时，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62%B. 56%
C. 46%D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】由容斥原理即可得解..
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
6. 设集合，，，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解.
【详解】，，
中的元素为点，故，
故选：B
7. 设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A. p1B. p2C. p3D. p4
【答案】C
【解析】
【分析】根据含量词的命题，分析其真假，即可求解.
【详解】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C
8. 定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A. 2B. 6C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.
【详解】因为，，，
所以，又集合有3个元素，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意.
综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论.
【详解】因为，
若，则，
当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上可得.
故选：ABD
10. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图验证B,C,D再利用交集补集定义判断A.
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误，
因为，，
所以，故A正确.
故选：AC
11. 设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（ ）
A. 集合为封闭集B. 集合为封闭集
C. 封闭集一定是无限集D. 若A为封闭集，则一定有
【答案】BD
【解析】
【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解
【详解】对于A，在集合中，
不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合，
设x，，则，，，，
，，，
集合为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确．
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“”的否定是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由命题否定的定义即可求解.
【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”.
故答案为：.
13. 已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数组成的集合是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的子集的个数得到集合中只有一个元素，然后分和两种情况求解即可.
【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素，即方程只有一个解，
当时，，只有一个解，满足要求；
当时，，解得，所以或0.
故答案为：.
14. 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据题中定义，运用特例法进行求解即可.
【详解】解析不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}，当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．
故答案为：27
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为R，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合交并补的定义即可求解，
（2）根据，即可列关系式求解.
【小问1详解】
因为，，则，
可得或，
所以或
【小问2详解】
因为，可知，且，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为
16. 已知集合，，且.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，又由题知，可得，即可求得的取值范围；
（2）由，则，由，则要满足，解得，则的取值范围是2,4.
小问1详解】
∵，又由题知，所以，
解得，故的取值范围是.
【小问2详解】
由于，又，所以，所以，
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，故的取值范围是2,4.
17. 已知集合，集合.
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；
（2）利用集合间的基本关系计算即可.
【小问1详解】
∵是的必要不充分条件，
∴是A真子集.
①当时，，
②当时，∴，解得.
∴实数的取值范围为.
【小问2详解】
由，
则①当时，，
②当时，可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
18. 设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或或或或
.
【解析】
【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；
（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围.
【详解】由题意，
（1）由可知，，
即是方程的解，
所以，
即，解得：或，
当时，则，解得，
此时，满足，
当时，则，解得，
此时，满足.
所以实数的值是或；
（2）
，
所以 ，
对于方程，
①当，即时，此时，满足条件；
②当时，，即，，不满足条件；
③当时，即时，此时只需且，
将2代入方程得，解得或，
将代入方程得，解得，
所以且且，
综上可知，的取值范围是：
或或或或
19. 给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
（1）分别判断集合与是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求值；
（3）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质
（2）
（3），，或
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
【小问2详解】
若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
【小问3详解】
首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
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