2023-2024学年福建省三明市第一中学高二上学期8月月考数学试题含答案

2023-2024学年福建省三明市第一中学高二上学期8月月考数学试题

一、单选题

1．已知点，，则直线的倾斜角是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜率公式以及定义即可求出．

【详解】因为，设直线的倾斜角是，所以且，

．

故选：B．

2．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】A

【分析】先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），由此能求出直线的方程.

【详解】解：∵点和点，∴，

∵点和点到直线的距离相等，且l过点，

∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），

∴直线的方程为：，或，

整理得：或.

故选：A.

【点睛】本题考查求直线方程，考查点到直线的距离问题，利用平行或过线段的中点求解直线方程，属于基础题．

3．若直线与直线互相平行，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】因为直线与直线互相平行，

则，解得.

故选：A.

4．圆与圆内切，则实数的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】由圆内切得即可解决.

【详解】由题知，

所以，

因为圆与圆内切，

所以，即，

因为，

所以，

故选：C.

5．设x，，向量，，且，，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.

【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，

所以，

所以

故选：C

6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于a，则的值为（    ）

A．a2 B．2a2 C．3a2 D．a2

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示、数量积的坐标表示计算判断作答.

【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，=(-a，a，a)，=(-a，0，a)，

所以＝a2+0+a2＝2a2．

故选：B

7．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【解析】利用的几何意义可求其最小值.

【详解】，它表示与直线的动点连线段的长，其最小值为到直线的距离.

又该距离为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：对于带根号的代数式，如果根号下是平方和的形式，我们一般可利用其表示的几何意义-距离来求最值，这体现了数形结合的数学思想.

8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．

【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．

二、多选题

9．已知直线：，，，则下列结论错误的是（    ）

A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为

C．当时，直线的斜率不存在 D．当时，直线与直线平行

【答案】ACD

【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断，

【详解】对于A，当时，，直线恒过定点，故A错误，

对于B，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故B正确，

对于C，当时，直线的斜率为0，故C错误，

对于D，当时，直线经过，两点，故直线与直线重合，故D错误，

故选：ACD

10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与圆A相切

B．圆A截y轴所得的弦长为4

C．点在圆A外

D．圆A上的点到直线的最小距离为3

【答案】BC

【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C.

【详解】由圆得，

所以圆心，半径，

对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误；

对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确；

对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确；

对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误．

故选:BC．

11．在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断正确的是（    ）

A．若平面，则为的中点

B．平面平面

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，进而根据坐标法依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，

所以，，，，，，

对于A选项，所以，

设是平面的法向量，

则，即，故令，则，

所以，解得，此时为的中点，故A选项正确；

对于B选项，设是平面的法向量，

由于，，则，即，令得，由于

所以，所以平面平面，故B选项正确；

对于C选项，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误；

对于D选项，若，则，故D选项正确.

故选：ABD

12．过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则（    ）

A．弦AB长的最小值为8

B．△MAB面积的最大值为

C．圆M上一定存在4个点到l的距离为

D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线上

【答案】ABD

【分析】A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；

B选项，由三角形面积公式得到，设是中点，研究得到始终为钝角，且当点与原点重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函数关系得到此时，结合在上单调性，求出面积最大值即可；

C选项，举出反例；

D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程.

【详解】对A，变形为，

圆心M为，半径，

因为，故原点在圆内，

故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，

其中，故，A正确；

对B，由三角形面积公式得：

设是中点，故，当点与原点重合，弦长AB最短，取得最小值，

此时，，

故，此时.

由求得取得最小值时为钝角，所以始终为钝角，

因为在上单调递减，所以当时，面积取得最大值，

最大值为，B正确；

对C，当弦AB与直线垂直时，圆心M到直线l的距离为，

由于半径为，所以在直线l的左上方有2个点到直线l的距离为，

在直线l的右下方，只有1个点到直线l的距离为，

此时圆M上存在3个点到l的距离为，C错误；

对D，设，则四点共圆，且MP为直径，

其中线段MP的中点坐标为，即圆心坐标为，

半径为，

故四点所在圆的方程为：，

化简得：①，

②，

①－②得：，

则直线AB的方程为，

又因为直线AB过原点，将原点代入得：，

故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上，D正确.

故选：ABD

【点睛】已知圆的方程为，为圆上一点，则过点的切线方程为：；

若为圆外一点，则表示切点弦所在方程.

三、填空题

13．过点且与直线垂直的直线方程为           .

【答案】

【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】直线的斜率为，故所求直线方程为，即.

故答案为：.

14．已知空间向量，，共面，则实数的值为      ．

【答案】

【分析】利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求出的值.

【详解】，，共面，

存在实数，满足，

则， ，，．

故答案为：

15．若，，，则的形状是      ．（选填：锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）

【答案】锐角三角形

【分析】利用空间中两点间的距离公式可知，中，边最长，内角最大，求出，可判断出为锐角，即可得出结论.

【详解】因为，，，

则，，，

所以，，，，

所以，中，边最长，内角最大，

所以，，

显然、不共线，故为锐角，故为锐角三角形.

故答案为：锐角三角形.

四、双空题

16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点满足．若点在平面ABCD内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为        ；若点在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为        ．

【答案】         

【分析】以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，设，求出点的轨迹为，即得点所形成的阿氏圆的半径；②先求出点的轨迹为，到平面的距离为，再求出的最小值即得解三棱锥的体积的最小值.

【详解】

①以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，则，设，

由得，

所以，

所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为.

②设点，由得，

所以，

由题得

所以，设平面的法向量为，

所以，

由题得，

所以点到平面的距离为，

因为，

所以，所以点M到平面的最小距离为，

由题得为等边三角形，且边长为，

所以三棱锥的体积的最小值为.

故答案为： ，.

五、解答题

17．已知，．

(1)求；

(2)当时，求实数的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可；

（2）由，得，再根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可.

【详解】（1）已知，，

则，，，

所以；

（2）因为，

所以，

解得或．

18．已知的顶点，，边BC的垂直平分线所在直线方程为.

(1)求边BC所在直线方程；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)3

【分析】(1)根据给定条件求出直线BC的斜率，再借助直线的点斜式方程即可得解.

(2)利用(1)的结论求出点B的坐标，再求出点C到直线AB的距离即可求得的面积.

【详解】（1）因直线的斜率为1，而直线是边BC的垂直平分线，则直线BC的斜率为-1，

即有直线BC方程为：，即，

所以边BC所在直线方程为：.

（2）由(1)知，直线BC：，则由得，于是得线段BC与其垂直平分线交于点，

显然，点是线段BC的中点，而，于是得点,

因此，直线AB方程为：x=1，且，点到直线AB的距离为h=2，

从而得，

所以的面积是3.

19．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；

（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.

【详解】（1），

因为，同理可得，

所以

（2）因为，所以，

因为，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

20．已知圆心为C的圆经过三个点、、．

求圆C的方程；

若直线l的斜率为，在y轴上的截距为，且与圆C相交于P、Q两点，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】设所求圆的方程为，将、、代入，列方程组求解即可；由圆的方程求得圆心坐标为，半径为，利用斜截式求得直线方程为，即，利用点到直线距离公式，结合勾股定理求得弦长，根据三角形面积公式可得结果．

【详解】设所求圆的方程为，

则，解得，，．

圆C的方程为；

圆的圆心坐标为，半径为．

直线l的方程为，即．

圆心到直线l的距离，

．

的面积．

【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.

21．正三棱柱中，为的中点，点在上.

(1)证明：平面；

(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出长度，再求以为顶点的四面体体积.

【详解】（1）正三棱柱，则平面，又平面，，

又为的中点，则，、平面，，

平面

（2）  

由题意，为正三角形，为的中点，，如图建立空间坐标系，

由（1）易知平面法向量，

设则，，，则，

设平面的法向量为，则，取，则，

由题意，解得或（舍去），

，点到平面距离为1，

以为顶点的四面体体积为.

22．如图，圆：，点为直线：上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.

（1）若，求切线所在直线方程；

（2）若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.

（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，，代入数据计算得到答案.

【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，

则圆心到切线的距离，解得或，

故所求切线方程为，；

（2）设切线方程为，即，，的斜率为，，

故圆心到切线的距离，得，

∴，，

在切线方程中令可得，

故，

∴，此时，故的最小值为.

【点睛】本题考查了切线方程，长度的最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.