2023-2024学年福建省龙岩市连城县第一中学高一上学期月考2数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市连城县第一中学高一上学期月考2数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知 是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，
故选：B
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，
所以.
故选：B
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，再利用指对幂函数的单调性以及复合函数的单调性判断单调区间即可求解.
【详解】对于选项,函数的定义域为，因为函数的定义域不关于原点对称，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故错误；
对于选项,函数的定义域为，满足，
所以函数为奇函数，在是单调递减函数，故错误；
对于选项,函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，故错误；
对于选项,函数的定义域为，满足，所以函数为偶函数，
当时，，所以函数在上单调递增，故正确；
故选：.
4．当时，的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】依据均值定理去求的最小值即可.
【详解】由（当且仅当时等号成立．）
可得当时，的最小值为
故选：D
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先讨论 的奇偶性，在分别讨论 和 时 的符号即可.
【详解】 ， 是奇函数，排除A；
当 时， ，
当 时， ，
故选：C.
6．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出，，，的图像，根据图像得到答案.
【详解】画出，，，的图像，如图所示：
根据图像知：.
故选：D.
7．我们在概念课教学时会注意到这么一个素材：中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，事实上我们知道奇函数关于原点对称，选出以下不正确的选项（ ）
A．函数是圆O的一个“太极函数”
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数是圆O的一个“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
【答案】D
【分析】运用函数的奇偶性直接判断即可.
【详解】由题意知，太极函数必定是奇函数，
对于A，必有，则，
故，是奇函数，故A正确,
对于B，当时，由对称性知也为太极函数，故正确，
对于C，，故为奇函数，故正确，
对于D，，故是偶函数，故错误，
故选:D
8．定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件结合分段函数的图象与性质解不等式即可
【详解】因为，所以时，，
此时有，
令，由题意可知，
易知，，
所以时，，
则恒成立，即且，
解之得.
故选：C
二、多选题
9．设实数满足满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】选项AC由不等式的性质直接判断即可；选项B根据对数函数的单调性判断；选项D由分式的性质判断即可.
【详解】对于A，因为实数满足满足，所以，故A错误；
对于B，因为函数是增函数，又，所以，故，故B正确；
对于C，因为实数满足满足，故，故C错误；
对于D，因为实数满足满足，根据分子相同，分母大分数值小，所以，故D正确；
故选：BD
10．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利于根与系数的关系，结合二次函数的图象与性质求解.
【详解】由关于的不等式的解集是，其中，
所以，且是方程的两根，
所以，，
所以，，故正确；
又因为，故错误；
作出和的图象，则为两函数图象交点的横坐标，
由图象可知，故正确；
故选：.
11．已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．若函数在内满足恒成立，则
D．已知方程的解为，则
【答案】ACD
【分析】先确定函数奇偶性，画出函数图象，对于A：直接利用解析式计算即可；对于B：直接观察图象可得答案；对于C：根据图象计算可得答案；对于D：根据图象可得，以及给关系，然后利用关系求即可.
【详解】由得函数为奇函数，
又，作出函数的图象如下：
对于A：，A正确；
对于B：根据图象观察可得函数在上不是单调函数，B错误；
对于C：根据图象，令，得或，所以若函数在内满足恒成立，则，C正确；
对于D：如图：不妨设，
则，，
所以，
所以，即
又当时，，
当时，，
故，所以
所以，
令，明显函数在上单调递增，
故，
所以，D正确；

故选：ACD.
12．对于定义域为D的函数，若存在区间使得同时满足:①在上是单调函数；②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数有3个“和谐区间”
B．函数，存在“和谐区间”
C．若定义在上的函数有“和谐区间”，实数t的取值范围为
D．若函数在定义域内有“和谐区间”，则实数m的取值范围为
【答案】ACD
【分析】A选项，由的单调性得到a，b为的两个实根，解出x可能取值，确定3个“和谐区间”，A正确；B选项，只有1个解，故不合题意；C选项，分离常数后得到的单调性，问题转化为函数与的图象交点问题，求出函数的单调性和最值情况，从而得到答案；D选项，由函数单调性，确定，，转化为，换元后得到，由的范围求出m的取值范围.
【详解】A选项，因为均在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增，
所以有，即a，b为的两个实根，解得x可能取值为，0，，
即函数的有3个“和谐区间，，，故A正确.
B选项，由于，，只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误；
C选项，在上有“和谐区间”，所以存在区间，使函数的值域为，
函数在上单调递增，
∴a，b为关于x的方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根，
即在上有两个不等的实根，
令与，
问题转化为函数与的图象，在上存在两个不同的交点.
，令，解得，
由对勾函数性质可知：函数在单调递减，在上单调递增，
故，且，，
要想即在上有两个不等的实根，
此时，解得：，故，C正确；
D选项，函数在定义域单调递减，
当的定义域为时，的值域也为，
故①，②，
两式相减可得.，
即，③
将③代入②，，
令，得，
又，故，
∵，所以，
∴，
故实数m的取值范围为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】函数新定义问题，命题新颖，要熟练掌握函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，有时常常用导函数求解函数单调性及值域，很好的考察学生们知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
三、单空题
13．化简： ．
【答案】
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
14．已知，则 ．
【答案】3
【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由题知，，所以.
故答案为：
15．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”）
【答案】<
【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故答案为：
16．如图，在平面直角坐标系中，已知曲线依次为的图象，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点B、D，过点B作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是 .
【答案】/
【分析】设出点坐标，求得点坐标并代入，从而求得的值.
【详解】设，其中，则，，
由解得，则，所以，
将点坐标代入得.
故答案为：
四、问答题
17．已知－＜x＜0，sin x＋cs x＝．
（1）求sinxcsx；
（2）求sinx－csx的值
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）两边平方后，根据平方关系式可得结果；
（2）根据－＜x＜0可知，再配方可解得结果.
【详解】（1）由sin x＋cs x＝两边平方得，
所以.
（2）因为－＜x＜0，所以，，
所以
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了三角函数的符号法则，属于基础题.
18．已知集合
(1)求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到集合A，B，再由集合的交集运算即可；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以且，列不等式求解.
【详解】（1）因为，

；
（2）由题可得，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且．
由，得，解得．
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是．
19．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）结合幂函数的定义与偶函数的定义即可得；
（2）将原不等式化为后，对二次项系数进行分类讨论及求解即可得.
【详解】（1）由为幂函数，则有，解得或，
即或，
又为偶函数，故；
（2），即解，
当时，；
当时，，即，
当时，，解得；
当时，．
当时，，解得；
当时，解得或．
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
20．设函数
(1)解方程；
(2)已知为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）根据对数运算化简，由此列方程来求得正确答案.
（2）利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】（1）
，
由得，解得或，
所以或.
所以方程的解是或；
（2），
令，，，
，
当时，取得最小值为.
.
21．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值.
【答案】(1)；
(2)①1次；②.
【分析】（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围.
（2）①由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数；
②由（i）分析结果可知时水温正好被加热到，计算从降至、从加热至的时间，列方程求值.
【详解】（1）当时，设，则，可得，
所以.
当时，，则，可得，
综上，.
（2）①1次，理由如下：由题意，
从降至，则，可得分钟，
所以降至，所需时间分钟，
由于小王出门34分钟，
从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟；
从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟；
故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟，
综上，只加热过一次.
②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟.
所以在时，水温正好被加热到.
从降至，则，可得，
从加热至，则，可得，
所以在上递减，且，即.
22．已知函数是定义域为的奇函数，且．
(1)求的值，并判断和证明的单调性；
(2)是否存在实数，使函数在上的最大值为，如果存在，求出实数所有的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，单调增函数；证明见解析
(2)存在
【分析】（1）根据函数奇偶性求得，然后根据函数单调性的定义证明函数的单调性.
（2）利用换元法化简的解析式，结合二次函数的性质对进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】（1）函数且是定义域为的奇函数，，
，即，解得：，
代入原函数，则有，所以，
，，，或，
，，，
任取实数，则，
，，又，
，是单调增函数.
（2）
，
设，则，
，，，，记，
当，即时，要使的最大值为0，则要，
，，，
在上单调递增，
，由，得，
因，所以满足题意；
当，即时，要使的最大值为0，
则要，且，，
①若，则，解得：，
又，
，由于，不合题意，
②若，即，
则，，
综上所述，只存在满足题意；
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.