2022-2023学年安徽省合肥市庐江县第五中学（庐巢八校联考）高二上学期12月月考数学试题含答案

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县第五中学（庐巢八校联考）高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知直线，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先根据，求出的值，即可判断充分性；再判断当时直线，的位置关系，即可判断必要性，即可得到结果.

【详解】若，则，解得：或，

当时，，，直线，重合，；

充分性成立；

当时，，，显然，必要性成立.

故“”是“”的充要条件.

故选：C.

【点睛】易错点点睛：根据，求出或后，易忽略了两直线重合的情况，从而错选B选项.

2．已知空间向量是一组单位正交向量，，则（    ）

A．15 B．21 C．45 D．36

【答案】C

【分析】利用数量积的运算律和定义结合已知条件求解即可.

【详解】因为空间向量是一组单位正交向量，

所以，，

因为，

所以

，

故选：C

3．圆)关于直线x＋y－2＝0对称的圆Q的方程是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为圆关于直线对称的圆大小一样，所以只需确定圆的圆心即可．根据点关于直线的对称点的求法求出的圆心，即可得圆Q的方程．

【详解】因为圆的圆心为，设其关于直线的对称点为，所以 解得 ，

故圆Q的方程是．

故选：B．

【点睛】本题主要考查直线的标准方程的应用以及点关于直线的对称点的求法，属于基础题．

4．椭圆的两顶点为，，左焦点为，在中，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可知，转化成关于，，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．

【详解】据题意，，，，

，即，即.

又，，同除得，即（舍）或.

故选：B.

5．如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.

【详解】如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

，

，，

，

所以点P到的距离．

故选：B.

6．已知抛物线为坐标原点，过其焦点的直线交抛物线于两点，满足则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设与抛物线联立，转化，结合韦达定理可得，求解原点O到的距离，利用即得解

【详解】

由题意

若直线的斜率不存在，则方程为，此时，不成立；

故直线的斜率存在，设，由题意

，

由于直线过焦点，由抛物线定义

故原点O到的距离：

故选：A

7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.

【详解】因为底面，面，可得，，

因为四边形为正方形，可得，

所以两两垂直，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，

可得，，，，，

所以，，

所以，

设异面直线与所成的角为，

则，所以，

故选：A.

8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.

【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，

是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，

，，，

即，，且，，

，，解得：．

在双曲线中，，；

在椭圆中，，；

；

，，则，，可得：，

的取值范围为.

故选：C.

二、多选题

9．已知向量，，若，则（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【答案】AD

【分析】先求出的坐标，再由得列方程可求出的值.

【详解】因为，，

所以，

由可得，解得或.

故选：AD

10．已知直线，圆，则以下命题正确的是（    ）

A．直线l恒过定点 B．直线l与圆C恒相交

C．圆C被x轴截得的弦长为 D．圆C被直线l截得的弦最短时，

【答案】BC

【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆的圆心、半径，再求圆心到直线的距离，由此判断直线与圆的位置关系，利用弦长公式求弦长即可判断B，C，D.

【详解】依题意，直线：可化为，

由解得，，即直线过定点，A不正确；

因为方程可化为，

所以圆的圆心的坐标为，半径，，

即点P在圆内，直线与圆恒相交，B正确；

圆心到x轴的距离，则圆被轴截得的弦长为，C正确；

由于直线过定点，圆心，则直线PC的斜率，

当圆被直线截得的弦最短时，由圆的性质知，，于是得，解得，D错误.

故选：BC.

11．下列命题是真命题的有（       ）

A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面，的法向量分别为，，则

D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

【答案】AD

【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】A：∵，，

∴，则，

∴直线与垂直，故A正确；

B：，，则，

则，∴或，故B错误；

C：∵，，∴与不共线，

∴不成立，故C错误；

D：∵点，，，

∴，.

∵向量是平面的法向量，∴，

即，解得，故D正确.

故选：AD

12．已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为，那么下列结论中正确的是（    ）

A．双曲线C的方程为

B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°

C．点F到双曲线C的渐近线的距离为

D．双曲线C的离心率为2

【答案】ABD

【分析】根据抛物线准线过双曲线()的左焦点，得到，再根据与双曲线交于两点，且的面积为，求得双曲线的方程，再逐项验证.

【详解】由抛物线可得准线为，

因为抛物线的准线过双曲线()的左焦点，

所以，

又与双曲线交于两点，所以将代入双曲线得，

所以，

所以的面积为，即，

又因为，解得，

所以双曲线的方程为，故A正确；

双曲线的渐近线方程为，

所以两条渐近线的斜率为和，对应的倾斜角为和，

所以两渐近线的的夹角为，故B正确；

不妨取渐近线方程即，

所以点到双曲线的渐近线的距离为，故C错误；

双曲线的离心率为，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．若曲线与直线恒有一个公共点，则b的取值范围是           ．

【答案】

【分析】作图，根据半圆 与直线 的位置关系即可确定b.

【详解】如图：

是圆心在原点，半径为1的圆的x轴的上半部分，与x，y轴交于B，C，A三点，

，当直线 与圆相切于D点时，满足题意，此时 ，

当直线与x轴的交点位于B，C之间时，满足题意，此时 ；

故答案为： 或 .

14．设抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积           .

【答案】4

【分析】先由抛物线的定义得点K的横坐标为，进而求得轴，再计算的面积即可.

【详解】

如图，作于，由抛物线定义知，又点A的横坐标为，则点K的横坐标为，

点F的横坐标为，则轴，则.

故答案为：4.

15．若圆（r>0）上恰有四个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是           .

【答案】

【分析】求出圆心到直线的距离，利用求解

【详解】由于圆的圆心为原点，原点到直线的距离为：

圆（r>0）上恰有四个点到直线的距离为1

则

故答案为：

16．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为      ．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.

【详解】在平面内作，垂足为，

因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

所以，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

由图可知二面角的平面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

故答案为：.

四、解答题

17．在下列两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

①与直线平行；

②与直线垂直．

问题：已知直线l经过两条直线：和：的交点，且 ．

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l与圆相交于P，Q两点，求弦长．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）无论选①还是选②，均可以先求出交点坐标，再求出直线l的斜率，从而可求直线方程；

（2）利用弦长公式可求弦长.

【详解】（1）由可得，故，的交点为，

如果选①，则直线l的斜率为，故其方程为：，

整理得到：；

如果选②，则直线l的斜率为，故其方程为：，

整理得到：；

（2）如果选①，

由圆的方程可得圆心坐标为，半径为2，

则圆心到直线的距离为，

故；

如果选②，则圆心到直线的距离为，

故.

18．如图，正三棱柱中，底面边长为.

(1)设侧棱长为，求证：；

(2)设与的夹角为，求侧棱的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；

（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.

【详解】（1）由已知得，，

平面，

，，

又是正三角形，

,

；

；

（2）由（1）得，

又，

，

，

解得，

即侧棱长为.

19．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；

（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程；

（2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程.

【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，

又因为在双曲线上，所以 ，所以，

所以双曲线的方程为：，渐近线方程为；

（2）设，所以，所以，

所以，又因为，

所以，所以弦所在直线的方程为：，即.

【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则.

20．圆C过点，且圆心在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与直线方程联立解得圆心坐标，然后求出半径后可得圆标准方程；

（2）设线段的中点，用表示出，代入圆方程可得结论．

【详解】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1．

的中点，因此，直线m的方程为．即．

联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径，

则所求圆的方程是．

（2）设线段的中点，则，解得

代入圆C中得，

即线段中点M的轨迹方程为．

21．如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）用余弦定理求出，从而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；

（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.

【详解】（1）证明：，，，

根据余弦定理得，

所以，

所以，

以点为坐标原点，，所在直线为，轴，经过点垂直于，的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

，，

，

平面

（2），，，

设平面的一个法向量为，

由，所以

令，则，，

可得，

设平面的一个法向量，

由令，得，，

可得，

，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，坐标为

【分析】（1）利用椭圆定义和离心率列方程可解；

（2）记点N关于x轴的对称点为，将问题转化为三点能否共线问题，设直线方程联立椭圆方程消元，利用韦达定理代入共线的坐标表示可解.

【详解】（1）由椭圆定义可知的周长为4a，

所以由题可知，解得，所以

所以椭圆C的方程为

（2）如图，设，，记点N关于x轴的对称点为，

易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：

，则

直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，

等价于

即，等价于

因为

所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.

所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为