2022-2023学年陕西省安康市石泉县江南中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省安康市石泉县江南中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式得到集合，，然后求交集即可.

【详解】，

.

故选：A.

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】化简，再求出即得解.

【详解】由，得，从而，所以的虚部为1．

故选：A

3．是直线与圆相切的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断“”和“直线与圆相切”之间的逻辑推理关系，可得答案.

【详解】当时，直线为，

则的圆心到直线的距离为，

故此时直线和圆相切；

当直线与圆相切时，则，

解得或，推不出一定是，

故是直线与圆相切的充分不必要条件，

故选：B

4．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可

【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象表示的函数是，

再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是.

故选：D

5．函数的大致图象为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B

【详解】解：由可得

所以函数为偶函数，排除A、C.

因为时，，排除B.

故选：D.

6．甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】分别假设甲､乙､丙､丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.

【详解】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；

若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；

若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；

若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；

故选：A

7．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接BF，证明，在中计算即可作答.

【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则，

则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角，

因平面，平面，则，又，，平面，

即有平面，平面，即，令，则，

所以异面直线AF与所成角的正弦值为.

故选：B

8．设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出和 的关系即可.

【详解】利用双曲线的定义及标准方程，得到,

又，

因为，所以；故，即

故答案为：

9．若某程序框图如图所示，已知该程序运行后输出的值是，则判断框的条件可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据程序框图与数列裂项求和，即可得出判断框的条件.

【详解】由题意，

假设先执行若干次循环：，；，；，，…，，；

，；

结束循环，再分析选项，只有B符合题意，

故选：B.

10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ）

A．56 B．57 C．58 D．59

【答案】C

【分析】由题意能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，从而可得数列的通项，再结合条件列不等式，即可得到结果.

【详解】因为能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，

所以，，，即是以1为首项，35为公差的等差数列，

即.

由题意知且，得，

解得，，所以此数列的项数为58项.

故选：C.

11．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案.

【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.

设切点为，

所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），

，此时点到直线距离.

故选：D

12．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意可得外接圆的半径及面积，高的最大值为，代入体积公式，结合题意可求得R值，代入球的表面积公式即可得答案.

【详解】设外接圆的半径为，则，

设球的半径为，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值.

所以，即，解得.

故球的表面积是．

故选：A.

二、填空题

13．设满足约束条件，则的最小值为          .

【答案】

【分析】根据约束条件，画出可行域，由目标函数求出最小值．

【详解】画出，满足约束条件的可行域如下图：

，可得点，

当直线过点时，取最小值．

故答案为：．

14．已知向量与的夹角为，则          .

【答案】

【分析】由向量的模长公式和数量积的定义求解即可.

【详解】因为向量与的夹角为，

所以，

.

故答案为：.

15．记为数列的前项和.若，则          .

【答案】

【分析】根据数列通项和前项和之间的关系判断出数列为等比数列，即可求得答案．

【详解】，令得当时，，

两式相减可得

数列是首项为，公比为2的等比数列，

.

故答案为：.

16．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值          .

【答案】4

【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值．

【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，

要使最小，则需最大，，且，

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值是4．

故答案为：4．

三、解答题

17．的内角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质得，进而确定角的大小；

（2）根据余弦定理求，再应用三角形面积公式求面积即可.

【详解】（1）由结合正弦定理可得，整理得，

，

.

（2），即，解得，

的面积为.

18．2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩，某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：

(1)把2×2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？

(2)从随机抽取的400人中所有给出“好评”的观众中采用按男女分层抽样的方法随机抽取7人参加平台和影片出品方组织的活动，为了方便活动，现从7人中随机选出2人作为正、副领队，求所选出的正、副领队是一男一女的概率．

参考公式：，其中，

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析，有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”

(2)

【分析】（1）由题意进行数据分析，完善2×2列联表，套公式求出，对照参数下结论；

（2）列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.

【详解】（1）2×2列联表补充完整如下：

，

因此有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”.

（2）采用分层抽样的方法从男性给出“好评”者中抽取的人数为人，记作a，b，c，d；

从女性给出“好评”者中抽取的人数为 人，记作A，B，C，

所以从7人中抽取2人包含的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC，共21个，

其中包含一男一女的基本事件有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，共12个，

故所求概率．

19．如图（1），在等腰梯形中，，，为中点.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图（2）.

（1）求证：；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】（1）根据已知的长度和平行关系可证得均为等边三角形，取中点，根据等腰三角形三线合一性质可证得，，则根据线面垂直判定定理证得平面，由线面垂直性质定理可得结论；

（2）利用体积桥的方式可构造出关于所求距离的方程，解方程求得结果.

【详解】

（1）在图中，，，为中点

四边形是菱形，且是等边三角形，即图中是等边三角形

连结，    四边形为平行四边形

则，即是等边三角形

设中点为，连结，，则，

，平面    平面

平面    

（2）由（1）知：

又        

又，，平面

平面，即为三棱锥的高

设点到平面的距离为

在中，，    

由得：，解得：

点到平面的距离为

【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、点到平面距离的求解问题；证明线线垂直关系时，通常需要采用先证线面垂直的方式，再利用线面垂直性质证得结论；求解点到平面距离时，常采用体积桥的方式，构造出关于所求距离的方程来求得结果.

20．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.

【答案】(1)

(2)最大值为，方程为

【分析】（1）由焦点和离心率即可知，从而可得椭圆方程；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点到直线的距离公式结合韦达定理，把面积表示为函数，再用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由已知得，由离心率，得，

椭圆的方程为.

（2）设，联立可得，，

直线与椭圆交于两点，

，解得，

由韦达定理可得，

由弦长公式可得，

点到直线的距离为，

，当且仅当，即时取等号，

面积的最大值为，此时直线的方程为.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求的取值范围；

(3)证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调性即可；

（2）分离参数，令，只需，根据函数的单调性求出的范围即可；

（3）问题转化为只需证明，由（2）可知在单调递减，，从而证明结论成立．

【详解】（1）.

若，则，此时在上单调递增；

若，当时，；当时，，此时在上单调递增，在上单调递减.

（2）的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，

令，只需，又，

令得，当时，单调递增；当时，单调递减；

，解得.

（3）要证明，

只需证明，

即，

即只需证明，

由（2）可知在单调递减，

，故，

.

22．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为且过点．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，且曲线的极坐标方程．

（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求的最大值．

【答案】（1）（为参数）；；（2）.

【分析】（1）根据直线参数方程的定义求出直线的参数方程，再根据公式将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义计算可得；

【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数）；

曲线的极坐标方程，所以

所以曲线的直线坐标方程为．

（2）将代入，并整理得．

设、对应的参数分别为，，则．

因为在圆的内部，所以与异号，

于是．

考虑到，则当时，．

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论去绝对值符号，分别解不等式组，再将解集求并集即可；

（2）利用绝对值三角不等式得，然后根据题意得，解含绝对值的不等式即可求出结果.

【详解】（1）当时，，

当时，，解得，此时；

当时，，整理得，该式恒成立，此时；

当时，，解得，此时，

综上可知，不等式的解集为.

（2）

若满足题意，必须，等价转化为即

解得，故的取值范围为.