2023届陕西省安康市石泉县江南中学高三下学期2月月考数学（文）试题含解析

2023届陕西省安康市石泉县江南中学高三下学期2月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的交集

【详解】由，得，解得，

所以，

由，得，所以，

所以，

故选：C

2．设复数，其中是实数，是虚数单位，若的实部为1，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】设，再根据复数运算与相等的性质可得，进而可得.

【详解】由的实部为1，可设，故，即，故，则，解得，故，则.

故选：D

3．已知椭圆经过点，且焦点分别为，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率.

【详解】由于焦点，

所以焦点在轴上，且，

由于椭圆经过点，所以，

所以，

所以椭圆的离心率为.

故选：D

4．若，，…，的平均数为3，方差为4，则，，…，的（    ）

A．平均数为1，方差为2 B．平均数为1，方差为1

C．平均数为，方差为2 D．平均数为，方差为1

【答案】B

【分析】根据平均数与方差的性质求解即可.

【详解】设，，…，的平均数为，方差为，

则，，…，的平均数为，方差为，

故，，解得，.

故选：B

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的为，则判断框中填写的可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据程序框图，写出每次运行的结果即可求解.

【详解】模拟执行程序框图，可得，满足条件；

，，满足条件；

，，满足条件，

，，满足条件，

，，

由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出的值为.

改判断框中填写的内容可以是.

故选：B

6．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，且，，

则，解得，则.

故选：A

7．已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知点在线段的中垂线上，由此可求出点的横坐标，再根据渐近线方程，即可求出点的纵坐标，根据三角形面积公式即可求出结果.

【详解】因为双曲线，可知右焦点为，，

又，

所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，

又双曲线的渐近线方程为，

所以点的纵坐标为，即的高为，

所以的面积为.

故选：C.

8．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可得出，解出，然后将代入计算即可得解.

【详解】由已知可得，解得，

当时，则.

故选：D.

9．如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面，三棱锥的体积为，若点，，，都在球的球面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，连接，则可证得为三棱锥外接球的球心，然后由已知的面面垂直和棱锥的体积可求出外接球的半径，从而可求出外接球的表面积.

【详解】取的中点，连接，

因为，，所以，

所以，

所以为三棱锥外接球的球心，

设，则，，

因为，，所以为等腰直角三角形，且，

所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为，，，所以，

所以，解得，

所以球的表面积为，

故选：B

10．钝角的内角的对边分别是，已知，且，则的周长为（    ）

A．9 B． C．6 D．或9

【答案】A

【分析】由题知，，再分为钝角和为钝角两种情况讨论求解即可.

【详解】解：因为，

所以，根据正弦定理边化角得，

因为，

所以，即

所以，当为钝角时，，即，解得，，周长为；

当为钝角时，，即，解得，，此时与为钝角时矛盾，故不成立；

综上，的周长为.

故选：A

11．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．9

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.

【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，

所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，

将此方程代入，整理得．

设，，（）则，

所以，

当且仅当，即时等号成立．

故选：A．

12．若， 函数的图象恒在函数的图象上方(无公共点)， 则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，对于恒成立，等价转化为对于恒成立，构造函数，根据单调性得，分离参数得对于恒成立，再构造函数，对求导，借助单调性求最小值，继而得解.

【详解】由题知，函数的图象恒在函数的图象上方，

所以对于恒成立，

即，即对于恒成立，

令，则，

而在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，所以对于恒成立，

令，则，

所以当时，；

当时，；

所以在单调递减，在单调递增，

所以，又.

故选：A.

【点睛】方法点睛：本题考查了指对函数同构，常见的指对变形有：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

二、填空题

13．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为         .

【答案】

【分析】由题意，求出对应的定义域区间长度，利用长度比求概率.

【详解】解：，由，得，

∴当，即时，有，

∴在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为.

故答案为：.

三、双空题

14．若是奇函数，则      ，      .

【答案】          1

【分析】由奇函数满足求解即可.

【详解】由题意，，则.

又奇函数满足，故，解得.

故答案为：；1

四、填空题

15．已知两点.为坐标原点，点在第一象限，且，设，则        .

【答案】

【分析】设，根据，，得到，然后由求解.

【详解】因为点在第一象限，设，

又因为，，

所以，即，

因为，

所以，

即，

所以，

解得，

故答案为：

16．已知直线：（）与双曲线：交于，两点，轴于点，直线与双曲线的另一个交点为，则      .

【答案】/

【分析】利用点差法，能得到的值，则通过就可以推导出，然后就可以推出的值.

【详解】  

设，，，，则.

由得，，

则，.

，∴，∴.

故答案为：.

五、解答题

17．已知数列的前项和为，，对任意正整数，都有．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求．

【答案】(1)见解析；

(2)．

【分析】(1)已知条件令m＝1，根据等比数列定义即可证明；

(2){}为首项是，公比为的等比数列﹒

【详解】（1）由题可知，，

令m，则，即，即，

∴数列为等比数列，首项为2，公比q＝2；

（2）由(1)知，

令

﹒

18．2021年，为降低疫情传播风险，保障经济社会良好运行，各地区鼓励外来务工人员就地过节、过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人员数与就地过年的人员数，得到如下的表格：

(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程．

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的人每人发放1000元补贴．若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区选择就地过年的人员发放的补贴总金额；

参考公式：回归方程中斜率和截距的公式分别为，．

【答案】(1)

(2)（万元）

【分析】（1）利用公式求出和，得到线性回归方程；

（2）在第一问的基础上，代入求出，从而估计该市政府需给区选择就地过年的人员发放补贴总金额.

【详解】（1），，

，，

所以，，则，

故关于的线性回归方程为；

（2）将代入得：，

估计该市政府需给区选择就地过年的人员发放补贴总金额为（万元）.

19．已知四棱锥的底面是菱形，,又平面，点是棱的中点，在棱上.

(1)证明：平面平面.

(2)试探究在棱何处时使得平面.

【答案】(1)证明见解析；

(2)当时，平面

【分析】（1）根据，可得平面，故而平面平面；

（2）连接交于，连接，根据线面平行可得，于是．

【详解】（1）证明：,

又底面是的菱形，且点是棱的中点，所以，

又,所以平面.

平面平面.

（2）

当时，平面，证明如下：

连接交于，连接.

因为底面是菱形，且点是棱的中点，所以∽且,

又，所以，

平面.

20．司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.

(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

(2)从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.

参考公式附：其中.

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析，有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

(2).

【分析】（1）根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；

（2）由（1）知6名司机中4名男性，2名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可.

【详解】（1）

所以，

故有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.

（2）由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，

所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为.

21．设函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求正整数的最小值.

【答案】（1）答案见解析；（2）3.

【分析】（1）对a分类讨论，利用导数讨论单调性；

（2）先判断出，且，定义研究单调性，利用零点存在定理判断出的零点即可求解.

【详解】解:（1）.

当时，，函数在区间内单调递增，

所以，函数的单调增区间为，无单调减区间；

当时，由，得；由，得.

所以，函数的单调增区间为，单调减区间为.   .

（2）由（1）知：如果函数有两个零点，则，且，

即，即：，..

令

可知在区间内为增函数，且

所以存在

当时，；当时，.

所以，满足条件的最小正整数

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)考查数形结合思想的应用．

22．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；

充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，

又，所以椭圆方程为；

（2）由（1）得，曲线为，

当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；

当直线的斜率存在时，设，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线即，

由直线与曲线相切可得，解得，

联立可得，所以，

所以,

所以必要性成立；

充分性：设直线即，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立可得，

所以，

所以

，

化简得，所以，

所以或，所以直线或，

所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是．

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.