2022-2023学年陕西省商洛市洛南中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省商洛市洛南中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集概念进行求解即可.

【详解】.

故选：B

2．设，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．

【详解】因为R，，所以，解得：．

故选：A.

3．已知命题：，；命题：，.则下列命题中为真命题的是（    ）

A．或 B．且 C．且 D．且

【答案】B

【分析】配方得到恒成立，为假命题，举出例子得到为真命题，从而对四个选项一一判断，得到正确答案.

【详解】，恒成立，故为假命题；

当时，，故为真命题，

A选项，或为真命题，或为假命题，A错误；

B选项，为真命题，故且为真命题，B正确；

CD选项，为假命题，故且为假命题，且为假命题，CD错误；

故选：B

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

【答案】A

【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.

【解析】条件概率．

5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为  （ ）

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

【答案】A

【分析】利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．

【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

6．已知p：，则p的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据必要不充分条件的定义判断求解.

【详解】对于A，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；

对于B，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；

对于C，由推不出，反之也不行，

所以“”是“”的既不充分不必要条件，故C错误；

对于D，由可推出，反之不行，

所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误；

故选:A.

7．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.

详解：由题可得：，由的几何意义可得 ，故选B.

点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.

8．下列命题的证明最适合用分析法的是（    ）

A．证明： B．若，，证明：

C．证明：，，不可能成等比数列 D．证明：

【答案】D

【分析】根据分析法的步骤逐一判断即可.

【详解】因为，

所以选项A不适合用分析法；

因为，，

所以由，

因此选项B不适合用分析法；

假设，，成等比数列，所以有，显然不成立，

因此选项C不适合用分析法；

要证明，只需证明，

即只需证明，

即只需证明，即只需证明，

即只需证明成立，显然该不等式成立，

因此选项D适合用分析法，

故选：D

9．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：

若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2023年“五一”黄金周的成交额是（    ）

A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元

【答案】C

【分析】根据样本中心点过线性回归直线这一性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以，即，

当时，，

故选：C

10．已知点在直线上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】B

【分析】设点，然后利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，化简变形求出的最小值即可

【详解】解：设点，则点到直线的距离为

，

所以当时，最小值，

所以.

故选：B

11．记不超过实数的最大整数为，则函数称作取整函数，取整函数在科学和工程上有广泛应用.下边的程序框图是与取整函数有关的求和问题，运行该程序后输出的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】C

【分析】模拟执行程序，即可计算出输出值.

【详解】开始，，

满足，，，

满足，，，

满足，，，

满足，，，

满足，，，

不满足，输出，即输出的值为.

故选：C

12．设函数，则满的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先画图，再根据函数的单调性，列式求的取值范围.

【详解】由条件画图可得，

可知， ，解得：.

故选：D

二、填空题

13．若，则         .

【答案】

【分析】复数乘方运算化简复数，进而求模即可.

【详解】，故.

故答案为：

14．函数的定义域为      .

【答案】

【分析】根据分式和二次根式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

所以该函数的定义域为，

故答案为：

15．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），曲线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相切，则      .

【答案】

【分析】将极坐标方程和参数方程均化为平面直角坐标方程和普通方程，联立之后利用根的判别式等于0得到方程，求出.

【详解】因为，故，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，

变形为，两边平方后相加得，

联立与得，，

由，解得.

故答案为：

16．已知函数，且，则  

【答案】

【分析】由，可以得到或，求出的值，最后求出的值.

【详解】或.

【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量的取值问题，考查了数学运算能力.

三、解答题

17．设为虚数单位，，复数，.

(1)若是实数，求的值；

(2)若是纯虚数，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，利用是实数可求得实数的值；

（2）利用复数的除法化简复数，利用复数为纯虚数可求得实数的值.

【详解】（1）解：，

因为是实数，则，解得.

（2）解：为纯虚数，

则，解得.

18．设函数的定义域为，函数的定义域为.

（1）求；

（2）若，且函数在上递减，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出集合，，然后由补集和并集的定义求解即可；

（2）先利用交集求出集合，然后利用二次函数的单调性分析求解即可．

【详解】解：（1）由得，∴，

由得，∴，

∴，∴.

（2）∵，，∴.

由在上递减，得，即，∴.

19．在某次社会机构的招聘考试中，参加考试的文科大学生与理科大学生的人数比例为，且成绩（单位：分）分布在，为调研此次考试的整体状况，按文理科用分层抽样的方法抽取160人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，且规定70及其以上为优秀.

(1)填写列联表；

(2)通过计算判断是否有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析；

(2)有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关.

【分析】（1）利用分层抽样求出文理科人数，再根据频率分布直方图求出优秀的人数，完善列联表作答.

（2）计算的观测值，再与临界值表比对即可作答.

【详解】（1）由题意可知，文理科人数的比例为且按分层抽样抽取160人，

则文科生有人，理科生有人，

70分及以上为优秀，则优秀的共有人，

所以列联表为：

（2）由（1）知，，

所以有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关.

20．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）两边同时乘以，利用和差公式展开，代入公式即可求解.

（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入即可求解.

【详解】（1）由得,,

即,所以曲线的直角坐标方程为

（2）易知直线过点,设直线倾斜角为,

则直线的参数方程为(为参数),

代入得,易得,

设,对应的参数分别为,则，

故.

解得,

则,

的斜率为.

21．某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至5月份销售的某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：

(1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

(2)求出关于的线性回归方程；

(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（2）中的关系，如果该种配件的成本是2.5元/件，那么该种配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润销售收入成本）

参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.

参考数据：

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)7.5元

【分析】（1）根据所给公式及数据求出相关系数，即可判断；

（2）根据所给公式及数据求出、，即可得到回归方程；

（3）设销售利润为，则，，再根据二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）解： ，，，

由于与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，

从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（2）解：，，

又，，

关于的线性回归方程为.

（3）解：设销售利润为，则，

整理得，

所以当时，故该配件的销售单价应定为元才能获得最大利润.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若射线与曲线交于点，与直线交于点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将曲线C的参数方程化为普通方程，然后再利用极坐标与直角坐标的互化式将其化为极坐标方程，

（2）将分别与曲线和直线的极坐标方程联立可求出两点对应的极径，从而可求出

【详解】（1）由曲线C的参数方程得，

两式相加消去参数得

根据转换为极坐标方程为.

（2）∵射线与曲线C交于点A，与直线l交于点B，

∴联立，解得，

联立，解得，

∴.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用绝对值的几何意义将表示成分段函数形式，即可解不等式；

(2)利用绝对值不等式得，进而可求的取值范围.

【详解】（1）因为，所以.

当时，,不等式转化为，解得.

当时，,不等式转化为，无解.

当时，,不等式,

转化为，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）因为，所以.

又，所以，

解得或.

故的取值范围为.