2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法运算法则计算化简即得.

【详解】，

故选：D.

2．观察下图所示的“集合”的知识结构图，把“①描述法，②包含关系，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是

A．①②③ B．③①② C．②③① D．①③②

【答案】A

【分析】根据结构图结合集合、集合的基本关系、集合的运算等相关知识进行判断可得答案.

【详解】解：因集合的表示包括两种：列举法和描述法，故M处为①；

集合的基本关系包括；包含和相等，故M处为②；

集合之间的交、并和补集属于集合的运算，故P为③；

故选A.

【点睛】本题考查集合的知识网络和结构图.其中集合的表示包括两种：列举法和描述法；集合的基本关系包括；包含和相等；集合之间的交、并和补集属于集合的运算，对于结构图问题，需要掌握所涉及的部分有哪些主要的知识模块，它们之间是何关系.

3．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解

【详解】由题意，

若为纯虚数，则

故选：B

4．设一个回归方程为，则变量增加一个单位时（    ）．

A．平均增加1.2个单位 B．平均增加3个单位

C．平均减少1.2个单位 D．平均减少3个单位

【答案】A

【解析】由回归直线斜率可得结果.

【详解】由回归直线斜率知：变量增加一个单位时，，

平均增加个单位.

故选：A.

5．如图所示的程序框图的运行结果是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】按照程序框图的运算直接求解即可.

【详解】按照程序框图的运算依次得：

，，，.

故选：C.

6．当用反证法证明命题“设a，b为实数，则关于x的方程至少有一个实根”时，要做的假设是（    ）

A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根

【答案】A

【分析】由反证法的概念判断

【详解】由题意，应假设方程没有实根

故选：A

7．设，，则与大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的运算法则，结合对数函数与指数函数的单调性即可得解.

【详解】因为，，

又，则，

所以.

故选：B.

8．已知，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【答案】A

【分析】根据复数乘法运算，结合复数相等的条件，可求得x，y的值，进而可得复数z，即可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以，解得，

所以，在复平面内对应的点为，位于第四象限，

故选：A．

9．已知“整数对”按如下规律排列：，，，，，，，，，，…则第70个“整数对”为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件找出规律即可求得答案

【详解】已知“整数对”按如下规律排列：

，

，，

，，，

，，，，

……，

第一行1组，第二行2组，第三行3组，第四行4组，……，

因为，

所以第67个“整数对”是，第68个“整数对”是，

第69个“整数对”是，第70个“整数对”是.

故选：D

10．已知变量x，y之间的线性回归方程为 ＝－0.7x＋10.3，且x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法错误的是（    ）

A．可以预测，当x＝20时， B．m＝4

C．变量x，y之间呈负相关关系 D．变量x，y之间的线性相关系数为负数

【答案】B

【解析】将代入回归直线方程，即可判断A选项；算出的平均数，根据样本点中心一定在回归直线上，判断B选项；根据回归直线的斜率判断CD选项.

【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；

对于B选项，，

将点（，）的坐标代入回归直线方程得

解得，故B错误；

由线性回归方程可知，变量x，y之间呈负相关关系，且变量x，y之间的线性相关系数为负数，故C、D正确，

故选：B.

11．已知与之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和，求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）

参考公式：回归直线的方程是：，其中，．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合回归方程的公式计算相关数据，再比较大小即可得解.

【详解】因为某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，

所以，则，

根据题意得：，，

，，

所以，，

所以，.

故选：D.

12．如果正数满足，那么（　　）

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

【答案】A

【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．

二、双空题

13．下面是一个2×2列联表；

其中，a、b处的值分别为        、        ．

【答案】     35     50

【分析】根据列联表即得.

【详解】由题意结合列联表可得：

，.

故答案为：35；50.

三、填空题

14．复数的共轭复数在复平面上对应的点的坐标为      .

【答案】

【分析】先利用复数的模和复数的除法化简复数，再求得其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.

【详解】因为复数，

所以其共轭复数为，

所以复数的共轭复数在复平面上对应的点的坐标为，

故答案为：

15．已知，，则的取值范围为      .

【答案】

【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解.

【详解】∵，

∴，

即的取值范围为.

故答案为：.

16．图中的流程图描述的算法称为欧几里得辗转相除法.若输入，，则输出      .

【答案】41

【分析】根据程序的执行逻辑写出执行过程并确定各步对应值，进而得到输出结果.

【详解】由，则，

由，则，

由，则，

由，则，

由，则，

此时，输出.

故答案为：

四、解答题

17．用分析法证明：.

【答案】证明见解析.

【分析】分析法证明命题的核心是寻求命题成立的充分条件.

【详解】证明：要证不等式，

只需要证明，

即证明，

即证明，

即证明，

显然恒成立，所以不等式成立

18．已知复数满足，．

(1)求复数；

(2)求复数的实部和虚部．

【答案】(1)

(2)复数的实部为，虚部为.

【分析】（1）设复数，由，列方程组可求出的值，即可求出复数.

（2）由复数的乘法运算即可求出，即可得到的实部和虚部.

【详解】（1）设复数，则，由，解得：.

再由， ，解得：，故复数.

（2）因为，，，复数的实部为，虚部为.

19．甲、乙两人2013-2017这五年的年度体检的血压值的折线图如图所示.

（1）根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；

（2）根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值关于年份的线性回归方程，并据此估计乙在2018年年度体检的血压值.

（附：，）

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）由图像可知，甲的波动更大，利用图像所给数据和方差的计算公式计算得方差的值.（2）将数据代入回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并令，求得年度的预测值.

【详解】（1）甲的波动更大.

甲这五年年度体检的血压值的平均值为,

其方差为.

（2）∵，，

∴，

.

故关于的线性回归方程为.

当时，，

故可估计乙在2018年年度体检的血压值为118.

【点睛】本小题主要考查样本方差的计算，考查回归直线方程的计算，并用回归直线方程进行预测，属于基础题.

20．（1）设，，，用综合法证明：；

（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式可得，，，即可得证；

（2）假设，，证明即可.

【详解】（1）因为，，，根据基本不等式，

有，，，当且仅当时等号成立，

三式相加：，

即；

（2）假设，，

则因为，，有，，

所以，

故，这与题设条件相矛盾，所以假设错误.

因此和中至少有一个小于2.

21．《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《Super Brain》而推出的大型科学竞技真人秀节目，节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，分以上才有机会入围，某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各名，然后对这名学生进行脑力测试，规定：分数不小于分为“入围学生”，分数小于分为“未入围学生”，已知男生入围人，女生未入围人，

（1）根据题意，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.

（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取名学生.

（ⅰ）求这名学生中女生的人数；

（ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这名学生中女生测试分数的平均分的最小值.

附：，其中

【答案】(1)见解析(2) （ⅰ）5 （ⅱ）122

【分析】(1)由题，女生共100人，可得入围的学生人数，即可完成联表，求得，得出结果;

（2）（ⅰ）根据分层抽样是按比例抽取，得出结果；

（ⅱ）由题，分别求得抽取的女人的分数，再求得平均值.

【详解】解：（1）填写列联表如下：

因为的观察值，

所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.

（2）（ⅰ）这11名学生中，被抽到的女生人数为，

（ⅱ）因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数，所以这11名学生中女生的平均分的最小值为

【点睛】本题考查了统计案例的独立性检验以及抽样，熟悉公式，了解抽样的方法，属于基础题.

22．首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：

并根据数据绘制散点图如图所示：

根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

其中，.

（1）（ⅰ）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）；

（ⅱ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中）

（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.

附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.相关指数：.

【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ）13.2百万元；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好.

【解析】（1）（i）令，，则，根据最小二乘估计，，则，从而确定关于的回归方程即可. （ii）令，解得的取值范围即可.

（2）先计算甲建立的回归模型的残差，，再计算甲模型的相关指数，与乙模型的相关指数比较大小，即可.

【详解】（1）（ⅰ），令；

令，则.

根据最小二乘估计可知：

从而，故回归方程为，即.

（ⅱ）设，解得，即

故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.

（2）甲建立的回归模型的残差：

则，从而，

即甲建立的回归模型拟合效果更好.

【点睛】思路点睛：

利用最小二乘法求回归直线方程的一般步骤：

（1）先由题中数据求出两变量的平均数、，

（2）再根据，，求出和，

（3）将系数代入回归直线方程，可得回归直线方程.