陕西省渭南市三贤中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

试卷类型：A（北师大版）

2022~2023学年度第一学期期中教学检测

高二数学（必修5）试题

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知等差数列的前n项和，则（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】根据数列的前项和公式，直接可以得出，进而得出结果.

【详解】因为等差数列的前n项和，

所以，

故选：D.

2. 不等式的解集是（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】B

【解析】

【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．

【详解】解：不等式可转化为，即，即，

所以不等式等价于解得：，

所以原不等式的解集是

故选：B

3. 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到，即可得到答案

【详解】由正弦定理可知，

设，

所以，所以，所以的形状是直角三角形，

故选：B

4. 函数的最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式求解即可

【详解】因为，所以，

当且仅当即时，取等号，

故函数的最小值为4，

故选：C

5. 已知，则下列大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.

【详解】为正数，为负数，所以，，

，

所以.

故选：C

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过作差法，判断与0的大小关系即可得到答案

【详解】由，且，故；

由且，故；

且，故.

所以，

故选：B

7. 一艘海轮从A地出发，沿北偏东75°的方向航行80海里后到达海岛B，然后从B地出发，沿北偏东15°的方向航行40海里后到达海岛C．如果下次航行直接从A地出发到达C地，那么这艘船需要航行的距离是（    ）

A. 40海里 B. 40海里 C. 40海里 D. 40海里

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知求出角B，然后由余弦定理直接可得.

【详解】如图，由题意AB＝80海里，海里，，所以11200，得海里．

故选：D

8. 图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，，已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

【答案】B

【解析】

【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项

【详解】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：B

9. 已知实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式组画出可行域，然后根据的几何意义求最值即可.

【详解】由不等式组可得可行域如下：

由可得，表示直线经过可行域上的点时的纵截距，

所以当直线过点时，最小，

联立，解得，所以，

将代入可得.

故选：A.

10. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】当即时，恒成立，满足题意，

当时，由题意得，解得，

综上，的取值范围是，

故选：B

11. 在数列中，设其前n项和为，若，，，则等于（    ）

A. 25 B. 20 C. 15 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】根据递推公式的特点，可得奇数项和偶数项的特点，根据分组求和即可求解．

【详解】由可知：当为奇数时，，当为偶数时，，

所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2

故

故选：B

12. 对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为（    ）

A. 2 B. 7 C. 2，7 D. 2，5，7

【答案】C

【解析】

【分析】先求出，，，，，，，，再得到，，，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．

【详解】因为，

所以，，，，，，，，

当，，，所以，

因为函数在上单调递增，

所以时，数列为单调递增数列，

所以，，，，

所以数列的“谷值点”为，．

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在中，，，，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】利用正弦定理解三角形即可.

【详解】由正弦定理得，所以，又，所以.

故答案为：.

14. 已知等比数列的前n项和为，且，，则__________．

【答案】62

【解析】

【分析】利用等比数列的通项关系先求公比，再利用前n项和公式求解即可

【详解】在等比数列中，公比为，则，解得：，

所以.

故答案为：62

15. 已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则__________．

【答案】

【解析】

分析】首先根据等比中项求出和，再求出公比，再利用等比数列通项即可求.

【详解】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，

.又，，

而.

故答案为：

16. 设，，给出下列不等式：

①；

②

③；

④．

其中所有恒成立的不等式序号是__________．

【答案】①②③

【解析】

分析】利用作差法以及基本不等式，结合不等式性质，可得答案.

【详解】对于①，，故①正确；

对于②，，当且仅当时等号成立，且，当且仅当时等号成立，则，故②正确；

对于③，，当且仅当，即时等号成立，故③正确；

对于④，，当且仅当成立，则，故④不正确.

故答案为：①②③.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在等差数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）设为的前项和，若，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.

（2）根据前项和公式求解即可

【小问1详解】

设等差数列的公差为，

由题意可得，解得.

故.

【小问2详解】

由等差数列的前项和公式可得.

因为，所以，即，

解得（舍去）.

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角C；

（2）若，的面积为，求c．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)先利用正弦定理将化角为边，再根据余弦定理即可求解；

(2)先利用面积公式求出的值，再利用余弦定理即可求解.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理，可得，也即，

由余弦定理，得，又因为,

所以.

【小问2详解】

因为，

所以，又因为，所以，

由余弦定理可知：，

所以.

19. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】（1）菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小   

（2）．

【解析】

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【小问1详解】

由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

【小问2详解】

由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

20. 在中，，，分别为内角，，的对边，.

（1）求角；

（2）若，为中点，，求的长度.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理将边化角即可计算结果；

（2）由和差公式求得，结合正弦定理即可求得，最后用余弦定理即可求得．

【详解】解：（1）.

∴.

∴，

由正弦定理可得：，

∴，

∴，∴，解得；

（2），∴

∵，

由正弦定理可得：

在中，由余弦定理可得：，

解得．

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

21. 已知不等式解集为．

（1）求实数a，b的值；

（2）解不等式．

【答案】（1）;   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）据题意可知，和是的两个根，利用韦达定理可求出的值；

（2）将（1）解出的代入不等式，再分类讨论解不等式

【小问1详解】

的解集为，和是的两个根，

根据根与系数的关系可知：，；

【小问2详解】

由（1）可知，即,,

①当即时，，此时解集为且；

②当即时，此时解集为或；

③当即时，此时解集为或；

综上：当时，解集为且；

当时，解集为或；

当时，解集为或

22. 已知数列的前n项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，记的前n项和为．若对任意且恒成立，求实数的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件构造新的等比数列，先将条件转化成与的关系式，再利用等比数列定义，即可求得通项.

（2）根据第一问及条件得到，再利用错位相减法求出的前项和，最后根据的范围，解出的不等式，即可求解.

【小问1详解】

由可得，，两式相减，得，则.又由，得，即，又，，则也满足

数列是以 为首项，为公比的等比数列，

【小问2详解】

由（1）可知，，由，得

则①，

②，

由①②得，

由，得恒成立，即，

当时，.设且

当时，，

综上所述：实数的最小值为.