2024届陕西省渭南市三贤中学高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题含答案

2024届陕西省渭南市三贤中学高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.

【详解】

A错误，B错误，C正确，D错误.

故选：C

2．各组函数是相等函数的为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据若两函数的定义域相同，对应关系相同，则这两函数为同一个函数逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误，

对于B，，的定义域都为， 因为，所以两函数不是相等函数，所以B错误，

对于C，，的定义域都为，因为，所以这两个函数不是相等函数，所以C错误，

对于D，因为的定义域都为，且对应关系相同，所以是相等函数，所以D正确，

故选：D

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若，则，故充分性成立；

若，则或，推不出，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】对分两种情况求方程的根的个数即得解.

【详解】当时，或，都满足；

当时，，

所以方程没有实数根.

综合得函数的零点个数是2.

故选：B

【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

5．如果函数f(x)＝，满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是（    ）

A．(0，2) B．(1，2) C．(1，＋∞) D．

【答案】D

【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解.

【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立，

所以函数f(x)是R上的增函数，

所以，

解得，

故选：D

6．函数的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

7．若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将原式变形为，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】.

当且仅当，即时有最小值.

故选B.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是凑出积为定值的结构，属于中档题.

8．已知函数满足，若函数与图像的交点为则

A．0 B． C． D．

【答案】B

【详解】[方法一]：直接法.

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点，

∴，故选B．

[方法二]：特值法.

由得

不妨设因为，与函数的交点为

∴当时，，故选B．

[方法三]：构造法.

设，则，故为奇函数.

设，则，故为奇函数.

∴对于每一组对称点.

将，代入，即得

∴，故选B．

[方法四]：

由题意得,函数和的图象都关于对称,

所以两函数的交点也关于对称,

对于每一组对称点和，都有.

从而.故选B.

【解析】函数的性质.

【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.

9．法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（p为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数（例如“梅森素数”的位数是2）为（参考数据：）（    ）

A．19 B．20 C．21 D．22

【答案】C

【分析】由题意，先计算，即可得到的位数.

【详解】依题意，，

∴，所以这个“梅森素数”的位数为21位，

故选：C．

10．若，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由， 构造函数，利用函数单调性得答案．

【详解】由，化简得，构造函数，则函数在上是增函数，

∵，∴，则，即．

故选：D．

【点睛】本题考查构造函数以及指数函数单调性的应用，属于基础题.

11．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，则为减函数，根据复合函数的单调性可知为减函数，且满足对于恒成立，由对数函数的单调性以及列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】设，可得，

则是减函数，

要使得函数为上的增函数，

只需为减函数，且满足对于恒成立，

所以，解得：，

所以实数的取值范围为，

故选：C.

12．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．

【解析】函数的周期性和奇偶性．

二、填空题

13．函数的单调递减区间是      .

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，然后利用换元法结合复合函数单调性的判断方法求解即可

【详解】由，得，解得或，

所以函数的定义域为，

令，则，

因为在上递减，在上递增，在定义域内递减，

所以在上递增，在上递减，

故答案为：

14．已知函数，若，则实数的取值范围            ．

【答案】

【详解】试题分析：由已知，函数在单调递增，且，故即为，则，解得．

【解析】函数的性质．

【方法点睛】函数单调性的常见的命题角度有：1、求函数的值域或最值；2、比较两个函数值或两个自变量的大小；3、解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；4、求参数的取值范围或值．

15．函数的最小值为      .

【答案】1

【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.

【详解】由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递增；

又在各分段的界点处连续，

∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；

∴

故答案为：1.

16．已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为      .

【答案】或.

【分析】由已知可得在上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为，则可得，再对数的性质要求得结果

【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，

所以在上递增，

因为是定义在上的偶函数，

所以由，得，

所以，

所以或，

所以或，

解得或，

所以不等式的解集为或.

故答案为：或.

17．已知函数，当时，，则的最大值是        ．

【答案】/

【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.

【详解】令，解得：；令，解得：；

图象如下图所示，

由图象可知：，，.

故答案为：.

三、解答题

18．计算：

(1)

(2).

【答案】(1)16

(2)

【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质求解，

（2）根据分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可

【详解】（1）

，

（2）

19．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

【答案】.

【分析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根据非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范围．

【详解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]．

非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，

∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3．

∴m的取值范围是[0，3]．

【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,.

(1)求的解析式.

(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数为奇函数和时的解析式，得到与时的解析式，得到答案；

（2）先得到函数的单调性，结合函数的奇偶性解不等式，求出对任意恒成立，故对任意恒成立，由根的判别式求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时, ，

，又函数是奇函数，

，

，

故，

又．综上所述 ；

（2）为R上的单调函数，且，

∴函数在R上单调递减．

，

，

函数是奇函数，

．

又在R上单调递减，

对任意恒成立，

对任意恒成立，

，

解得：．

故实数的取值范围为．

21．（1）已知，求.

（2）已知，且为一次函数，求.

（3）已知函数满足，求.

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】（1）用换元法，设求出，表示出，可得出的解析式.

（2）通过为一次函数可设，然后再通过的解析式，可求出的值.

（3）由可得出，将两个方程联立可得出的解析式.

【详解】（1）令则.

.

（2）为一次函数设.

.

或

或.

（3）①②.

联立①式，②式

则.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)直线l与曲线C交于A，B两点，设点，求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）消去参数，得直线l的普通方程，利用直角坐标与极坐标之间的转化公式代入即可得曲线C的直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.

【详解】（1）将代入，得，

所以直线l的普通方程为，

由得，，

即，所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）将代入方程，得，

所以，，

由直线参数方程中的几何意义得，

，

所以.