2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（理）试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市永寿县中学高二下学期期中数学（理）试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则计算即可.【详解】.故选：C.2．若函数，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出，再将代入即可得到答案.【详解】，则.故选：C3．余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理A．结论不正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确【答案】C【分析】分别判断大前提、小前提、结论的正确性，选出正确的答案.【详解】大前提：余弦函数是偶函数，这是正确的；小前提：是余弦函数.我们把叫余弦函数，函数是余弦函数复合一个二次函数，故小前提不正确；结论：是偶函数.,所以结论正确，故本题选C.【点睛】本题考查了判断三段论推理中每段推理的正确性，解题的关键是对偶函数的正确理解.4．函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导函数大于0时,原函数递增的性质,结合图象即可得出结论.【详解】因为导函数大于0时,原函数递增,根据图象可知,当或时,,所以的单调递增区间为,故选:D.【点睛】本题考查利用导函数图象判断原函数单调性,属于简单题.5．若复数，则A． B． C．4 D．2018【答案】A【分析】根据复数除法的运算法则和的幂运算性质，化简复数，最后根据复数模的公式，求出.【详解】，，故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、的幂运算性质、复数求模公式，考查了数学运算能力.6．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用定积分的几何意义将转化为求圆的面积问题即可.【详解】表示的是圆的上半部分与直线与及x轴围成的图形的面积,即圆的面积的,所以,故选:B.【点睛】本题考查定积分的几何意义的应用,难度不大.7．已知是函数的极值点，则A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可【详解】，由，得.又，当x> 0<x<故是函数的极值点，故成立故选B【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题8．函数的最大值为（    ）A．a B． C． D．【答案】D【分析】先对函数求导,再利用导数研究的单调性,从而求出其最大值.【详解】,则,所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故选:D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值,难度不大.9．已知复数满足，为实数，且，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一或二象限 B．第二或三象限 C．第三或四象限 D．第一或四象限【答案】D【分析】把代入中化简，然后列方程可求得的值，从而可得答案【详解】.因为为实数，且，所以，又，解得.所以在复平面内对应的点位于第一或四象限，故选：D【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的几何意义，属于基础题10．观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为（    ）A．49 B．43 C．07 D．01【答案】C【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察，，，，，…，可知末两位每4个式子一个循环，到一共有1008个式子，且，则的末两位数字与的末两位数字相同，为07.故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.11．已知函数在上不单调，则m的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，函数不单调，解得答案.【详解】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.12．对任意的实数，关于的方程都有两个不同的实根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】将方程变形为，采用换元法将问题变为与有两个不同的交点的问题；结合导数可得到的图象，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由得：，.令，则，原方程有两个不同的实根，等价于与有两个不同的交点.，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，又当时，；当时，，由此可得图象如下图所示：当时，与有两个不同的交点，即当时，方程有两个不同的实根.故选：.【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过变形和换元，将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解，进而通过数形结合的方式求得结果. 二、填空题13．已知复数，且，则      .【答案】【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求出复数，进而可.【详解】，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模计算，比较基础.14．函数的最大值为    ．【答案】1【分析】先写出函数的定义域，利用导数得到函数的单调区间，由单调性即可得函数最值.【详解】函数f(x)的定义域为，对函数求导得，=0，x=1,当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，则当x=1时函数f(x)取得最大值为f(1)=1,故答案为1【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值和单调性，属于基础题.15．若，则函数的图象在处的切线方程为        ．【答案】（或）【分析】先求出,再对求导,从而得到切线斜率,求出切线方程.【详解】,所以,,故,又,则切线方程为,即,故答案为:.【点睛】本题主要考查求曲线上某点处的切线方程,难度不大.16．已知是数列的前项和，，通过计算得，，，，根据通项的规律可以归纳得出      .【答案】【分析】根据提供的前4项，观察规律归纳可得通项公式.【详解】，，，，根据通项的规律可以归纳得出.故答案为： 三、解答题17．已知，复数是虚数单位.(1)若是纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；（2）利用复数的几何意义列不等式组求解.【详解】（1）因为是纯虚数，所以解得；（2）在复平面内对应的点为，由题意可得解得，即的取值范围是.18．设函数．（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.【详解】(1),则,因为在处取得极值,所以,解得,经检验,当时,在处取得极值;(2)因为在上单调递减,所以对恒成立,则对恒成立,∵当时,,∴,即a的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与极值求参,需要学生对相关基础知识牢固掌握且灵活运用.19．已知函数.(1)求的极小值；(2)讨论关于的方程的解的个数.【答案】(1)极小值为(2)答案见解析 【分析】（1）的定义域为，.令，得，列表可得当时，，随的变化的情况，进而可得答案；（2）令，，两函数图象交点的横坐标是的解，作出函数草图，由此能判断关于x的方程m∈R）的解的个数．【详解】（1）的定义域为，.令，得，当时，，随的变化的情况如下：0极小值所以在上的极小值是.（2）当，单调递减且的取值范围是；当时，单调递增且的取值范围是.令，，两函数图象交点的横坐标是的解，由（1）知当时，原方程无解.由的单调区间上函数值的范围知，当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两解.20．设，其中n为正整数．(1)求，，的值；(2)猜想满足不等式的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)，，(2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据，代入相应的值即可；（2）由（1）中，猜想：时，，再用数学归纳法证明：当是，猜想正确，假设当时，猜想正确，得出，再结合，得出，猜想成立，则由数学归纳法可知，猜想成立．【详解】（1），，．（2）猜想：时，，证明：①当时，成立，②假设当时，猜想正确，即，∴，，，即成立，由①②可知，对于时，成立．21．设函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：，当时，，在上单调递增；当时，令得：.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，当时，，，此时，不合题意；当时，恒成立，满足题意.当时，在处取最小值，且，令，解得：，此时恒成立.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.22．设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【分析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可【详解】（1）证明：令函数，，，所以为单调递增函数，，故.（2），即为，令，即恒成立，，令，即，得.当，即时，在上单调递增，，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，，，，即，故有，，…，上述各式相加可得.因为，，，所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题