2022-2023学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学试题含答案

2022-2023学年广西桂林市高二下学期期末质量检测数学试题

一、单选题

1．是数列的（    ）

A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项

【答案】A

【分析】利用观察法分析数列的规律即可.

【详解】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项，

故选：A

2．函数的导函数（    ）

A． B． C．e D．x

【答案】A

【分析】根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案.

【详解】由可得，

故选：A

3．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是（    ）．

A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③②

【答案】D

【分析】根据给定的散点图，结合相关性，即可求解.

【详解】根据给定的散点图，可得甲中的数据为正相关，乙中的数据不想关，丙中的数据为负相关，

所以甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的是①③②.

故选：D.

4．设函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合解析式直接求解即可.

【详解】.

故选：C.

5．某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率．

【详解】由题意可知，5件产品恰有3次正品，则有2次测到次品，

根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为，

故选：B．

6．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)

A．4 B． C．2 D．

【答案】C

【详解】由题意，得解得或 (舍去)，故选C.

7．某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（    ）

A．25 B．28 C．30 D．32

【答案】C

【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，即可代入求解.

【详解】由已知得，回归直线方程为过样本点中心，

∴，即，

∴．

故选：C．

8．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论.

【详解】当时，，

数列为递增数列，充分性成立；

当数列为递增数列时，，

恒成立，又，

，必要性不成立；

“”是“为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

二、多选题

9．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．

【详解】因为数列满足，，

；

；

；

数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；

故选：．

【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．

10．设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数的奇偶性以及时的图象，判断函数的函数值的正负情况，继而可判断其单调性，从而判断的正负，即可求得答案.

【详解】由题意可知当时，；当时，；

由于是定义域为R的奇函数，故当时，；当时，；

又在上单调递增，在上单调递减，

结合是定义域为R的奇函数，得在上单调递增，在上单调递减，

故当时，，当时，，

故当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

故可以使成立的x的取值范围是，，，

故选：ABD

11．近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业，某农业大学毕业生小佟货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，且当随机变量X服从正态分布时，有．则下列正确的是（    ）

A．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为0.3413

B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中

C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中

D．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250

【答案】AC

【分析】根据正态分布的对称性结合给定区间的概率判断A，D；根据方差的大小判断B，C，即得答案.

【详解】对于A，设白玫瑰的日销售量为X，则,

故，A正确；

对于B，C，由于红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，

故红玫瑰的日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，

即红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中，B错误，C正确；

对于D，红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826，

则，D错误；

故选：AC

12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可.

【详解】令，

则，

因为恒成立，

所以恒成立，

所以在上递减，

所以，

即，

所以，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

故D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.

三、填空题

13．曲线在点处的切线的斜率是          ．

【答案】

【详解】 ，所以曲线在点处的切线的斜率是

14．已知，则        ．

【答案】/

【分析】根据二项分布方差公式直接求解即可.

【详解】，.

故答案为：.

15．已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为      .

【答案】

【分析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解.

【详解】由得,所以,

故答案为：

16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是            ．

①；

②；

③事件B与事件相互独立；

④，，是两两互斥的事件

【答案】②④

【分析】根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.

【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；

因为，

所以，故②正确；

同理，

所以，

故①③错误.

故答案为：②④

【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题

17．在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和，求n．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出方程组，即可求得答案；

（2）利用等差数列的前n项和，解方程可得答案.

【详解】（1）设数列的首项为，公差为d，

则，解得，

∴．

（2）由以及，，，   

得方程，整理得，

解得或（舍去），

故．

18．已知在时取得极值，且．

(1)试求常数的值；

(2)试判断时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．

【答案】(1)，

(2)在处取得极大值；在处取得极小值；理由见解析

【分析】（1）由可构造方程组求得的值，代回验证可知满足题意；

（2）根据单调性和极值定义可直接得到结果.

【详解】（1）由题意知：，

由得：；

当，时，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

满足在处取得极值，，.

（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值；在处取得极小值.

19．哈三中高二数学备课组对学生的记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示：

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力.

（参考公式：，）

【答案】（1）；（2）判断力为5.4.

【分析】（1）直接利用公式求解即可

（2）把代入回归方程中求解

【详解】解：（1）由表中数据可得，

，

，

所以，

所以，

所以关于的线性回归方程为，

（2）当时，，

所以记忆力为9的学生的判断力约为5.4

20．截至2022年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下表所示不完整的列联表（数据单位：人）．

(1)将列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析“城市幸福感”指数与性别是否有关；

(2)若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为X，求X的分布列，并根据分布列求的概率．

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，认为“城市幸福感”指数与性别无关

(2)分布列见解析，的概率为

【分析】（1）根据表中数据可补充完整列联表，计算的值，与临界值表比较，可得结论；

（2）确定的可能得取值，求出每个值对应的概率，即得分布列，由此可求得的概率.

【详解】（1）补充完整的表格如下所示：

假设为：“城市幸福感”指数与性别无关．

计算可得，

依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为“城市幸福感”指数与性别无关．

（2）由题可知，X的可能取值有3，4，5，6，

 ，，，，

所以的分布列为：

所以．

21．已知①；②；③，在这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

设正项等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，________，，对都有成立．

(1)求数列、的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，证明．

【答案】(1)条件选择见解析，，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据求得，利用即可求得的通项公式；选①或②或③，都是求得等比数列的公比，即可求得的通项公式；

（2）由（1）结果可得，利用错位相减法求得，即可证明结论.

【详解】（1）时，，∴，

时，，

又符合上式，∴，∴，

因为为正项等比数列，设其公比为q，∴．

选①，，∴，

∴或（舍），∴；

选②，，∴，∴；

选③，由得，∴或（舍），

∴，

故数列、的通项公式分别为，．

（2）证明：由（1）知，

故，

则，

故，得，

故．

22．已知函数．

(1)求函数在区间上的最大值；

(2)求函数零点的个数．

【答案】(1)

(2)有2个零点

【分析】（1）求出函数的导数，判断函数在上的单调性，即可求得答案；

（2）分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可判断出答案.

【详解】（1）∵，

∴，

令，则，

∵，∴，∴在上单调递增，

又，，

故存在唯一，使得，

则时，，在上单调递减，

时，，在上单调递增，

故为在上的极小值，

又，，则，

故函数在区间上的最大值为.

（2）函数的定义域是，，

①当时，∵，，

∴，∴在上单调递减，

又，∴，故此时的零点为；

②当时，由（1）知，，，，

且在上单调递减，在上单调递增，

故函数在区间有唯一零点，也即在上有唯一零点；

③当时，令，，

则，

∴在上单调递增，

∴，

又，故对任意，都有，

∴函数在区间上没有零点，

综上，函数有且仅有2个零点．

【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及函数的单调性、极值以及零点问题，解答的难点在于零点个数的判断，解答时要能结合导数判断函数的单调性以及函数值情况进行判断.