2022-2023学年广西桂林市灵川县潭下中学高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西桂林市灵川县潭下中学高二上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．过点A（﹣3，2）与B（﹣2，3）的直线的倾斜角为（    ）

A．45° B．135° C．45°或135° D．60°

【答案】A

【分析】由两点的斜率公式可得选项.

【详解】设经过点A，B的直线的倾斜角为，则斜率为， ，∴.

故选：A.

【点睛】本题考查经过已知两点的直线的斜率公式，属于基础题.

2．圆的圆心和半径分别是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.

【详解】圆的标准方程为，

圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D.

【点睛】本题主要考查圆的标准方程应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

3．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B．， C． D．

【答案】D

【解析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.

【详解】解：整理抛物线方程得

焦点在轴，

焦点坐标为

故选D

4．双曲线 的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令，解得．选B．

5．图中的直线的斜率分别为，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.

【详解】由图象可得，，

故选：C

6．若直线与平行，并且经过直线和的交点，则a，b的值分别为(    )

A．－3，－4 B．3，4 C．4，3 D．－4，－3

【答案】B

【分析】联立直线方程可求得交点坐标，再根据平行和过交点得出方程组，分别求出a，b.

【详解】由得，由题意得，解得.

故选：B.

7．若椭圆的焦点为，点为椭圆上一点，且，则的面积为（    ）

A．9 B．12 C．15 D．18

【答案】A

【分析】利用椭圆定义解决焦点三角形问题简单快捷.

【详解】设，，则由且，

可得，且，

可得，所以．

故选：A.

8．当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可.

【详解】设点，的中点的坐标为，

，由中点坐标公式可得，可得，

又点在圆，则，即.

因此，线段的中点的轨迹方程为.

故选：C.

二、多选题

9．若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则斜率 B．若斜率，则

C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则

【答案】ABCD

【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果.

【详解】因为为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，

若，则斜率相等，即；又斜率是倾斜角的正切值，所以，故AC正确；

若，则，所以，故BD正确；

故选：ABCD

10．已知直线()与圆：，则（    ）

A．对，直线恒过一定点

B．，使直线与圆相切

C．对，直线与圆一定相交

D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为

【答案】ACD

【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点；说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．

【详解】解：直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A正确；

圆：即圆：，圆心，半径，则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；因为，当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，

最短弦长，故D正确；

故选：ACD

11．对任意的，方程所表示的曲线可能为（    ）

A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆

【答案】ACD

【分析】分别讨论的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项.

【详解】当时，，，方程可化为，此时为直线；

当且时，，，且，此时原方程可化为，此时表示椭圆；

当时，时，可化简为表示圆，

当时，，，方程可化为，此时为直线；

当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线；

当时，，原方程即，此时轨迹不存在；

当时，，，此时方程表示的轨迹不存在；

当时，，，原方程即，此时轨迹不存在；

当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线，

综上所述：方程所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆，

故选：ACD.

12．已知P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左右焦点，O为原点，，则下列结论中正确的是（　　）

A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为

C．的面积为36 D．点P到该双曲线左焦点的距离为18

【答案】BD

【解析】根据双曲线方程，可直接求出离心率和渐近线方程，判定AB的正误；再由题中条件，求出点坐标，即可求出的面积，以及点P到该双曲线左焦点的距离，判定CD的正误.

【详解】因为双曲线中，，，则，

所以左焦点为，离心率为，A错；

令，则渐近线，B正确；

由题意，设，，

则，，所以，

因为，所以，

又，则，所以，

整理得，解得或（舍），

因此，

所以的面积，C错；

，D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据题中条件，结合双曲线的方程，求出点坐标，进而即可求解出结果；此类题目计算量较大，需要考生具备较强的计算能力.

三、填空题

13．若三点共线则的值为________.

【答案】

【分析】根据三点共线与斜率的关系即可得出．

【详解】kAB1，kAC．

∵三点共线，

∴﹣1，解得m＝．

故答案为．

【点睛】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．若椭圆的一个焦点坐标为，则的值为________.

【答案】

【分析】根据椭圆的焦点坐标，可确定，可得方程计算即得答案.

【详解】由题意椭圆的一个焦点坐标为，

可知，故 ，即，又因为,所以

故答案为：

15．已知椭圆的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．

【答案】

【解析】作出图形，设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为，计算出，再利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率的值.

【详解】如下图所示，设椭圆的左、右焦点分别为、，

设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为，则，，

由勾股定理可得，

由椭圆的定义可得，即，

所以，该椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

16．P是非等轴双曲线上的一点，分别是双曲线C左､右焦点，若，则双曲线C的渐近线方程是__________.

【答案】

【解析】由双曲线定义可得，根据、已知可解得，再由渐近线方程是可得答案.

【详解】因为，所以，

又因为，，

所以，

即，解得或（舍去），

所以双曲线C的渐近线方程是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了双曲线的定义、焦点三角形的问题，关键点是焦点三角形中，考查了分析问题、解决问题的能力.

四、解答题

17．已知直线：；：n为常数.

（1）若，求m的值；

（2）若，且它们的距离为，求m，n的值.

【答案】（1） ；（2），或 .

【解析】（1）由，故，解出答案.

（2）由，故，解得m的值，再由它们的距离为，求出.

【详解】(1)直线：；：，若，

则，求得.

(2)若，则，求得，，

故直线：；：.

再根据它们的距离为，，或.

综上可得，，或.

【点睛】本题考查根据两条直线平行和垂直求参数的值，属于基础题.

18．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：

(1)斜率是且经过点；

(2)经过两点；

(3)在轴上的截距分别为，.

【答案】(1)

(2)

(3).

【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可；

（2）利用直线的两点式方程进行求解即可；

（3）利用直线的截距式方程进行求解即可.

【详解】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；

（2）由直线的两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；

（3）由直线的截距式方程可知，所求直线方程，化为一般式方程为.

19．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．

【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；

（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；

（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.

【详解】（1）证明：

直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．

（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，

∴A，B（0，1＋2k）．

又且1＋2k＞0，

∴k＞0．

故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．

20．如图，已知圆的圆心在第一象限，与轴相切于点，与直线相切于点.

（1）求圆的方程；

（2）圆和圆相交于两点，求线段的长度.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设出圆心坐标以及半径，再由圆心到直线的距离等于半径求出，进而得出圆的方程；

（2）将两圆方程相减得出的直线方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式得出线段的长度.

【详解】（1）已知圆的圆心在第一象限，与轴相切于点

设圆心

则圆的方程为

由于该圆与直线相切于点

故有，求得

即圆的方程为

（2）圆和圆相交于两点，把两个圆的方程相减

可得直线的方程为

由于点到直线的距离为

故弦长

21．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.

(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；

(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？

【答案】(1)；

(2)米.

【分析】（1）设出抛物线方程，根据点在抛物线上，代入即可求出抛物线方程；

（2）设车辆高为h米，根据点在抛物线上，求出的值，从而可求出限制高度.

【详解】（1）根据题意，设该抛物线的方程为，

由图可知点在抛物线上，所以，即，

所以该抛物线的方程为.

（2）设车辆高为h米，则，故，

代入方程，解得，

所以车辆通过隧道的限制高度为米.

22．已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值.

（1）试求动点的轨迹方程C．

（2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程.

【答案】（1）（2）或

【分析】（1）求动点轨迹方程的步骤，一是设动点坐标二是列出动点满足的条件，三是化简，，四是去杂，；

（2）联立椭圆的方程和直线的方程，消去，利用韦达定理得，结合弦长公式即可求解的值，即可直线的方程.

【详解】解：（1）设点则依题意有

整理得，由于，

所以求得的曲线C的方程为.

（2）设，

由消去得，

解得，

又，

解得，

所以直线的方程为或.