2022-2023学年广西桂林市中山中学高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西桂林市中山中学高一上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】理解数集符号，根据元素和集合的关系逐一判断即可.

【详解】对于选项A, 表示正整数集, -2不是正整数, 所以A错误;

对于B, 表示整数集, 不是整数, 所以B错误;

对于C， 表示有理数集, 不是有理数, 所以 C正确;

对于D, 表示自然数集， 5是一个元素，不是集合，所以 D 错误.

故选：C

2．已知集合，那么（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据并集的定义直接求出即可.

【详解】,

。

故选：C.

3．全称命题“，x2+2x+3≥0”的否定是（       ）

A．，x2+2x+3＜0 B．，x2+2x+3≥0

C．，x2+2x+3≤0 D．，x2+2x+3＜0

【答案】D

【分析】根据含全称量词的命题的否定直接求解即可.

【详解】由含量词命题的否定知，

命题“，”的否定是“，”

故选：D

4．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数要有意义，则需满足根号下方的式子大于或等于0，解不等式即可.

【详解】根据函数要有意义，则，即，

所以函数的定义域为：.

故选：A.

5．“”是“”（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意由得出或，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由得或，

所以由可以得到，但由不一定得到，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

6．已知函数，则（    ）

A． B．3 C．1 D．19

【答案】B

【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.

【详解】由，则.

故选：B

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在函数中，令，求出的值，代入计算即可求得的值.

【详解】在函数中，令，可得，

所以，.

故选：D.

8．设函数是定义在R上的奇函数，且，则（　　）

A．1 B．0 C． D．

【答案】C

【解析】由函数是定义在R上的奇函数可知,由可求,即可求得出结果.

【详解】函数是定义在R上的奇函数，

.

,

,即.

.

故选:.

【点睛】本题考查由奇函数的性质求函数值的方法,难度较易.

9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案.

【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误；

对B，和的定义域均为R，且，则B正确；

对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误；

对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误.

故选：B.

10．已知幂函数是增函数，则（    ）

A．1 B． C．1或 D．2或

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.

【详解】幂函数是增函数，

所以，解得，或，

当时，则是增函数，

当时，不是增函数，∴.

故选：A．

11．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由幂函数的性质，可得，解不等式组可得答案

【详解】解：因为，

所以，

解得，

故选：B

12．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将不等式等价转化为，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.

【详解】由题意可知：不等式恒成立等价转化为，

因为，所以，

则

（当且仅当，也即时等号成立），

所以，

故选：.

13．若函数是偶函数，则的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用函数是偶函数，可得，解出．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间．

【详解】解：函数是偶函数，

，

，

化为，

对于任意实数恒成立，

，

解得；

，

利用二次函数的单调性，

可得其单调递增区间为．

故选：B．

【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键.

二、多选题

14．若，则下列不等式中，正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】利用不等式的基本性质即可得出．

【详解】，

，C错误；

,所以，D正确，

而，

所以B错误，A正确，

故选：AD

【点睛】本题主要考查了不等关系的命题判定，考查了不等式的性质，属于中档题.

15．若函数在上为减函数，且，则实数的值可以是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】AB

【分析】根据题意, 由不等式的性质可得 , 解可得 的取值范围, 分析选项可得答案.

【详解】根据题意, 函数在上为减函数, 且 ,

则有 , 解得 ,

所以选项A ，B正确, 选项C ，D错误.

故选: A B.

三、填空题

16．若a>0，则的最小值是___________.

【答案】2

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】解：∵a>0，

∴（当且仅当a=1时取“=”）.

故答案为：2

17．设是定义在上的偶函数，当时，，则________

【答案】

【解析】由偶函数的性质运算即可得解.

【详解】因为是定义在上的偶函数且当时，，

所以.

故答案为：.

18．已知函数，的值域为______．

【答案】

【分析】根据二次函数单调性和值域的关系直接求解.

【详解】，

函数的对称轴为，

，

当时，函数取得最小值为，

当时，函数取得最大值为，

故函数的值域为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查函数值域的求解，根据二次函数单调性和值域的关系是解决本题的关键，属于基础题．

19．已知，且，则______.

【答案】-13

【分析】设，易证其为奇函数，由已知可得，进而可得，而，代入可得答案．

【详解】设，函数定义域为R，则有，

故函数为奇函数，

由可得，

故.

故答案为：-13．

20．若实数a，b满足，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】由条件得，代入得，进而由基本不等式可得解.

【详解】由可得：，

所以.

当且仅当时，等号成立.

故答案为：.

四、解答题

21．已知，,．

(1)当a＝1时，求A∩B；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式，求出，进而求出交集；

（2）根据条件得到，比较端点，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】（1），解得，故，

当时，，

所以；

（2）因为，所以，

因为，所以，

所以，

解得：，

所以实数a的取值范围为

22．解下列不等式：

（1）x2－5x－6>0；     

（2）(2－x)(x＋3)<0.

【答案】（1）{x|x<－1或x>6}；（2）{x|x<－3或x>2}.

【分析】（1）先求对应的一元二次方程的根，再根据二次函数图像确定不等式解集；

（2）先求对应的一元二次方程的根，再根据二次函数图像确定不等式解集

【详解】（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.

原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．

（2）原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.

方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.

原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．

23．已知函数f（x）＝．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

【答案】（1）{x|x≠±1}；（2）偶函数，证明见解析.

【解析】（1）定义域是使解析式有意义的自变量的集合，本题中，只要分母不为0即可；

（2）由于定义域关于原点对称，因此再计算与比较其关系，即可证明．

【详解】（1）解1﹣x2≠0得，x≠±1，

∴f（x）的定义域为{x|x≠±1}，

（2）f（x）为偶函数，

证明：由（1）知f（x）的定义域为{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，

又，

∴f（x）为偶函数．

24．已知函数且．

(1)求的值；

(2)判断在上的单调性，并给予证明．

【答案】(1)；

(2)在上是减函数，证明见解析.

【分析】（1）将x=4代入函数解析式解得参数即可求得答案；

（2）由函数单调性的定义即可证明问题.

【详解】（1）∵，∴，．

（2）在上是减函数．

证明：设任意，且，则，

∵，∴，∴，即，

故在上是减函数．

25．已知幂函数为偶函数.

(1)求的解析式；

(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可;

(2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可.

【详解】（1）由题意 ,

解得: 或 3 ,

若 是偶函数,则，

故 ;

（2）,

的对称轴是 ,

若 在上不是单调函数,

则 , 解得: .

所以实数的取值范围为.

26．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.

(1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.

【答案】(1)菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小

(2)

【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为.

因为，

当且仅当时，即，时等号成立.

所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.

（2）由题意得，，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是.

27．已知函数，

(1)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；

(2)对于任意实数及任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的单调性进行求解即可；

（2）根据函数单调性的性质，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）二次函数的对称轴为：，

由题意知，，或，

由，可解得，或，即；

（2）因为在上单调递增，所以，依题意有，不等式对于任意恒成立，

有，化简得，，所以.

实数的取值范围为.