广西桂林市荔浦县荔城中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

2022 学年度第一学期期末考试

高二数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角为（ ）

 A．         B．        C．         D．

2．已知圆的方程为，则圆心的坐标为（ ）

A．         B．       C．        D．

3．已知双曲线，则该双曲线的离心率为（ ）

A．       B．        C．        D．

4．等差数列中，已知，则公差等于（ ）

A．3        B．-6       C．4       D．-3

5．已知点到直线的距离为1，则的值为（  ）

A． 5或 15       B． 5或15      C．5或 15       D．5或15

6．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）

A．1       B．4       C．2      D．8

7．如图所示，在平行六面体中，分别为的中点．若，则向量可用表示为（ ）

A．                    B．      

C．                      D．

8．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点， 若的中点坐标为，则椭圆方程为（  ）

A．       B．        C．       D．

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。

9．已知非零空间向量，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则          B．

C．                D．若，则不共面1

10．已知点在圆上，直线平行，则（  ）

A．直线与圆相交             

B．直线与圆相离

C．点到直线距离最大值为

D．点到直线距离最小值为

11．设为等比数列的前项和，已知，则下列结论正确的是（ ）

A.         B.         C.         D.

12．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于 2，离心率为过焦作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（  ）

A．椭圆的方程为                     B．椭圆的方程为

C．|                                 D．

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．已知，则_______________.

14．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把 1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排 成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是_________．

15．已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线 的方程为_______________.

16．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，点的轨迹围成区域的面积为_________，面积的最大值为________.

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

 17．（10 分）

已知圆的圆心为，且经过点．

（1）求圆的标准方程；

（2）已知直线与圆相交于两点，求．

18．（12 分）

 已知数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）求证数列是等差数列.

19．（12分）

如图，在棱长为 2 的正方体中，分别为的中点.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离.

20．（12 分）

已知，且在直线上，其中是数列中的第项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设 ，求数列的前项和．

21．（12 分）

如图，底面，底面，四边形是正方形，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值．

22．（12 分） 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为.证明：以为直径的圆过定点.

参考答案

一、选择题

二、选择题

三、填空题

13.

14. 66

15. 或

16. ，

四、解答题

17.解：（1）由题意可得：

圆的半径

因为圆的圆心为

所以圆的标准方程为：.

（2）由（1）知，圆的圆心为，半径为，

所以圆心到直线的距离

由垂径定理，得.

18.解：（1）解：由题知

，∴，

当时，

，

将代入上式可得，故时满足上式，

∴；

（2）证明：由题知，∴，

∴，

且，

∴是以3为首项，1为公差的等差数列.

19. （1）证明：

如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以，

所以，

故，所以；

（2）由（1）知：，

则，

设是平面的法向量，则

由，解得，取，得，

设点到平面的距离为，则，

所以点到平面的距离为.

20.解：（1）因为，所以，

所以直线的方程为：，即，

又因为在直线上，所以

（2），

，①

，②

由①-②得，

，

所以.

21.解：证明（1）∵底面，底面，∴，

∵平面，平面，∴平面；

（2）

以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

由已知得，点.所以，.

易知平面，则平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，则.

则.

即直线与平面所成角的正切值为.

22.解：（1）设椭圆的半焦距为.

因为椭圆的离心率为，所以，.

又当位于上顶点或者下顶点处时，面积最大，即，

又，所以，，.

所以，椭圆的标准方程为.

（2）证明：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，

设，将直线的方程代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

所以，以为直径的圆为，

整理得：，①

因为

，

令①中的，得，所以，以为直径的圆过定点.