2022-2023学年广西桂林市田家炳中学高二上学期期中测试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西桂林市田家炳中学高二上学期期中测试数学试题

一、单选题

1．过点，的直线斜率为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】B

【分析】将P、Q点坐标代入斜率公式，即可求得答案.

【详解】因为，，

所以过P、Q的直线的斜率，

故选：B

2．圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据圆的标准方程的形式写.

【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.

故选C.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.

3．点(3，0)到直线x+y－4=0的距离等于（    ）

A．4 B． C．1 D．

【答案】D

【分析】由点到直线的距离公式计算．

【详解】由题意所求距离为．

故选：D．

4．与直线垂直的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可.

【详解】解：由,所以该直线的斜率为,

设与它垂直的直线的斜率为，

所以有,

设与直线垂直的直线的倾斜角为,

则有,所以

故选：D

5．已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】讨论焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别计算得到答案.

【详解】当抛物线焦点在轴上时：

直线与轴的交点为，此时抛物线为；

当抛物线焦点在轴上时：

直线与轴的交点为，此时抛物线为；

综上所述：抛物线的标准方程是或

故选：

【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.

6．已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；

当直线的斜率存在时，可设直线l：，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

即，解得：，

所以直线l：，即.

故选：D

【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:

（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；

（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．

7．双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线的标准方程为，可得，求解即可.

【详解】椭圆的焦点坐标为,离心率为.

设双曲线的标准方程为，

由题意可得，解得.

所以双曲线的标准方程为.

故选:C.

8．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

二、多选题

9．已知双曲线，则关于双曲线的结论正确的是（    ）

A．实轴长为6 B．焦点坐标为

C．离心率为 D．渐近线方程为

【答案】ABCD

【分析】根据双曲线的方程逐项判断即可.

【详解】由方程可得，焦点在轴上，

故实轴长为6，焦点坐标为，离心率为，渐近线方程为渐近线方程为.

故选:ABCD.

10．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则实数的值是（    ）

A．-3 B．1 C．-1 D．3

【答案】AB

【分析】由两直线垂直可得，然后解得即可.

【详解】由两直线垂直，可得，即

解得或.

故选:AB.

11．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的半径为

B．圆截轴所得的弦长为

C．圆上的点到直线的最小距离为

D．圆与圆相离

【答案】BC

【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；

对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为

，故选项B正确；

对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；

对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；

故选：BC.

12．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】BC

【分析】根据题意得到直线过抛物线的焦点，得出，再结合抛物线焦点弦的性质得到，求得的长，即可求解.

【详解】根据题意，抛物线的焦点为，

可得直线过抛物线的焦点，

因为所以，即，

又由抛物线焦点弦的性质，可得，

联立方程组，可得或或，

又因为，所以或2.

故选：BC.

三、填空题

13．过点且与直线平行的直线的方程为________________.

【答案】

【分析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果.

【详解】由直线与直线平行

所以直线的斜率为：

又直线过点，所以根据点斜式

可得直线方程为：

即

故答案为：

【点睛】本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.

14．已知圆经过和，圆心在直线上，则圆的标准方程为________.

【答案】

【分析】求出和连接的线段的垂直平分线，与可得圆心坐标，从而可求圆的标准方程.

【详解】和的中点坐标为，

过和的斜率为，

故该两点连接的线段的垂直平分线为，即.

联立，可得，即圆心坐标为.

故半径为.

所以所求圆的标准方程为.

故答案为:.

15．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．

【答案】

【分析】根据双曲线的渐近线可求c与a的关系，根据即双曲线的定义可求，在焦点三角形中，利用余弦定理可求出cos∠，从而可求sin∠，根据即可求出a，从而可求2c．

【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b，

∴．

设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则，

设∠=θ，在△中，由余弦定理得，

，

即，化简可得，

∴，

∵，

，，，，．

故答案为：．

16．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．

【答案】

【详解】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.

详解：

抛物线方程为，

抛物线焦点为，准线为，

设，

因为在第一象限，所以直线的斜率，

设直线方程为，

代入抛物线方程消去，得，

，

过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，

设点的坐标为，可得，

，

，

得到，可得，

，，解之得，

所以，直线方程为，即,

，故答案为.

点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，以及抛物线与直线的位置关系，属于难题.解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

四、解答题

17．已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．

(1)求直线l的一般式方程；

(2)若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．

【答案】(1)3x+4y+5＝0

(2)x2+y2＝17

【分析】（1）由垂直关系得过直线l的斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；

（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程．

【详解】（1）因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，

故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，

因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；

（2）圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，

圆心（0，0）到直线l的距离为，

则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17．

18．（1）已知直线经过直线与的交点和点，求的方程；

（2）已知直线和，若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）两方程联立可得，利用直线两点式方程可整理得到结果；

（2）根据平行关系可构造方程求得，验证可得最终结果.

【详解】（1）由得：，，

的方程为：，即；

（2），，解得：或；

当时，，，则重合，不合题意；

当时，，，则，满足题意；

综上所述：.

19．已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．

⑴求椭圆C的标准方程;  ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程．

（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．

【详解】解：⑴由，长轴长为6

得：所以

∴椭圆方程为

⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,

∵直线AB的方程为②

把②代入①得化简并整理得

所以

又

【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．

20．（1）已知点在圆上运动，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；

（2）已知两定点，动点满足，求点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，根据题意得代入圆的方程解决即可；（2）设，得，，根据题意解决即可.

【详解】（1）由题知，点在圆上运动，定点，

设，

因为点为线段的中点，

所以，即，

因为点在圆上，即，

所以，化简得

所以点的轨迹方程为；

（2）由题知，两定点，动点满足，即，

设，

所以，

因为，

所以，化简得，

所以点的轨迹方程为；

21．求满足下列条件的双曲线的标准方程．

（1）实轴在轴上，实轴长为，离心率为；

（2）焦点为，且与双曲线有相同渐近线．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据实轴长可得出，再利用离心率为解出，从而得出，得出双曲线的标准方程；

（2）由题意可知，根据双曲线可解出渐近线方程，再根据解出，得出双曲线的标准方程.

【详解】解：（1）由题可设双曲线方程为，焦距为，由题意可知，，，

双曲线的标准方程为

（2）由题可设双曲线方程为，焦距为，

则，渐近线方程为

的渐近线方程为

，即

又，则，

解得：，

双曲线的标准方程为.

【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，属于基础题，解答时易错点如下：

（1）双曲线中，，而不是；

（2）焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：.

22．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1），（2）证明见解析，定点

【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；

（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可

【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，

所以，得，

所以抛物线的方程为，

（2）①当直线的斜率不存在时，设，

因为直线的斜率之积为，所以，化简得，

所以，此时直线的方程为，

②当直线的斜率存在时，设其方程为，，

由，得，则，

因为的斜率之积为，所以，

即，即可，

解得（舍去），或，

所以，即，所以，即，

综上所述，直线过轴上的一定点

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题