2022-2023学年湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在等差数列{an}中，a3+a7＝6，则a2+a8＝（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】根据{an}是等差数列，直接利用a2+a8＝a3+a7进行求解即可．

【详解】由{an}是等差数列，得a2+a8＝a3+a7＝6．

故选：D．

2．有4名学生要到某公司实践学习，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为

A．120 B．240 C．360 D．480

【答案】C

【解析】先从5个科室任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，根据分步计数原理可得答案

【详解】解：先从5个科室任选三个，有10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，故有•360，

故选C

【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．

3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ）．

A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸

【答案】B

【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列，利用等差数列通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长．

【详解】由题意知：

从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为，

冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，

，解得，，

芒种日影长为（寸）尺5寸．

故选：B

4．的展开式中，项的系数为（    ）

A．－23 B．17 C．20 D．63

【答案】B

【解析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.

【详解】的展开式的通项公式为.则

①出，则出，该项为：；

②出，则出，该项为：；

③出，则出，该项为：；

综上所述：合并后的项的系数为17.

故选：B

【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.

5．在数列中，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据数列的递推公式可得，结合累加法，即可求解.

【详解】由题意可得，

所以当时，，，，，

上式累加可得，

，

又，所以，

当时，满足上式，

所以.

故选：B.

6．现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为，则（    ）

A． B． C． D．以上三种情况都有可能

【答案】A

【分析】根据概率公式求出和，即可求得答案.

【详解】6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回

实验的情况的总数为：

当先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数

情况的总数为：

，

6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回

实验的情况的总数为：

当先后从中取出两张. 若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数

情况的总数为：

，

.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了根据组合数求概率问题，解题关键是掌握组合数的计算方法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

7．已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，然后结合已知可判断的单调性及奇偶性，从而可求．

【详解】解：设，由为奇函数，可得，

故为上的奇函数，当时，，

，单调递增，

根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，

则不等式可转化为，

即，

即，即．

故选：A

8．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.

【详解】设公切线与函数切于点，

，切线的斜率为，

则切线方程为，即

设公切线与函数切于点，

，切线的斜率为，

则切线方程为，即

所以有

因为，所以，可得，，即，

由可得：，

所以，

令，则，，

设，则，

所以在上为减函数，

则，所以，

所以实数的取值范围是，

故选：B．

【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：

（1）设切点

（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；

（3）构建关系解得；

（4）由点斜式求得切线方程.

二、多选题

9．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．当时，；

B．当时，不等式的解集为；

C．当时，函数有两个零点；

D．当的最小值为2时，．

【答案】ABD

【解析】由导数确定函数的单调性和最值，即可判断A、B、D；举出反例可判断C，即可得解.

【详解】对函数求导得，

当时，，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，故A正确；

当时，，在上单调递减，

因为即，

所以，解得，故B正确；

当时，，，

则当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，函数只有一个零点，故C错误；

当时，单调递减，无最小值；

当时，由可得当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，解得，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

10．甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．事件与事件相互独立

D．，，是两两互斥的事件

【答案】BD

【分析】根据条件概率求得，由全概率公式求得，以及互斥事件、独立事件的概念判断各选项．

【详解】解：，，．

因为，

所以．

同理，．

因为，，是两两互斥的事件，由全概率公式得

因为，

所以选项错误．

综上，选项错误，选项正确，选项正确．

故选：BD．

【点睛】本题考查条件概率，解题关键是正确理解事件是互斥事件，由全概率公式有．

11．等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题的是（    ）

A．公差

B．

C．是各项中最大的项

D．是中最大的值

【答案】ABD

【分析】由得：，进而结合等差数列的性质逐个判断即可

【详解】因，所以，

所以公差成立，所以A正确，

因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项， C错误，

因为，所以，B成立.

设等差数列的前项的和最大，则，故，

又等差数列为递减数列，且，

所以，即是中最大的值，D正确.

故选：ABD.

12．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.

【详解】由题意，

所以，

所以，故A正确．

令，则，

即为，

令，得，故B正确；

对于，

令，得，

令，得：，

两式相加再除以2可得，故C错误.

对于，

令，得，

令 ，得，

故， 故D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．已知正数、的等差中项为1，则的最小值为          ．

【答案】

【分析】由题得x+y=2,再利用基本不等式求最值.

【详解】由题得x+y=2,

.当且仅当时取等.

故答案为9

【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

14．若直线与函数的图象相切，则          .

【答案】1

【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.

【详解】由题意，可得，

因为直线与函数的图象相切，故设切点为，

则，故，则，

故，

故答案为：1

15．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有    种.

【答案】1008种

【分析】利用特殊位置优先原则分类讨论计算即可.

【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；

若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；

若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种.

故总的站法有1008种.

故答案为：1008

16．已知函数若存在，使得，则的取值范围是          ．

【答案】

【分析】结合函数的图像，找到的约束关系，即得解.

【详解】函数的图像如下图所示：

由图像可知，，即.

又

又

.

故答案为：

【点睛】本题考查了分段函数图像的综合问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

四、解答题

17．盒子内有3个不同的黑球，4个不同的白球.

(1)全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？

(2)从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？

(3)若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

【答案】(1)1440

(2)7

(3)21

【分析】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空即可得出结果；

（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；

（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.

【详解】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，

则共有种；

（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有种；

（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有种.

18．设函数．

(1)若曲线在点处的切线方程为，求；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；

（2）对分类讨论，求出的单调区间.

【详解】（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点

又，根据导数几何意义，

；

（2）由可知

当时，则；

当时，则；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，单调递增区间为，单调递减区间为.

19．已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可解；

（2）利用错位相减法求数列前项和.

【详解】（1）由题可知.

因为，

所以，得.

设等比数列的公比为，则，

所以，

，即的通项公式为.

（2）由（1）得，

则，

，

两式相减得

故.

20．自2016年下半年起六安市区商品房价不断上涨，为了调查研究六安城区居民对六安商品房价格承受情况，寒假期间小明在六安市区不同小区分别对50户居民家庭进行了抽查，并统计出这50户家庭对商品房的承受价格（单位：元/平方），将收集的数据分成，，，，五组（单位：元/平方），并作出频率分布直方图如图：

(1)试根据频率分布直方图估计出这50户家庭对商品房的承受价格平均值（单位：元/平方）；

(2)为了作进一步调查研究，小明准备从承受能力超过4000元/平方的居民中随机抽出2户进行再调查，设抽出承受能力超过8000元/平方的居民为户，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）3360；（2）分布列见解析，．

【分析】（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,再利用组中值与对应区间概率乘积的和为平均值求承受价格平均值；

（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.

【详解】（1）（1）50户家庭对商品房的承受价格平均值为（元/平方），

则．

（2）（2）由频率分布直方图，承受价格超过4000元的居民共有户，

承受价格超过8000元的居民共有户，

因此的可能取值为，，，

，，，

的分布列为：

．

21．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：当时，

【答案】（1） ；（2）证明见解析.

【解析】（1）先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式求得，最后根据和项与通项关系求数列的通项公式；

（2）先放缩得，再根据裂项相消法求和，即证得结果.

【详解】（1）由，得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，即，

当时，，

当时，，也满足上式，所以；

（2）当时，，

所以

【点睛】本题考查等差数列定义、裂项相消法求和、根据和项与通项公式求通项，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.

22．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在单调递减

(2)

【分析】（1）求导，再二次求导，根据导函数的符号即可得出答案；

（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，，利用导数求出函数即可得出答案.

【详解】（1）解：因为，所以，

所以，

令，则，

令得，令得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以的最大值为，

即恒成立，

所以在单调递减；

（2）解：因为，，

所以对任意恒成立，

因为，所以，

所以对任意恒成立，

令，，

则，

令，，

则恒成立，

所以在上单调递减，

所以，即，

所以在上单调递减，

所以，

即，所以实数的取值范围是．

【点睛】本题考查了了利用导数求函数的单调区间及最值，考查了不等式恒成立问题，需要用到分离参数法，及二次求导.