2023届湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高三下学期2月高考模拟数学试题含解析

这是一份2023届湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高三下学期2月高考模拟数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高三下学期2月高考模拟数学试题

一、单选题
1．设全集集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域即可确定，进而可求解.
【详解】由解得，因为，所以，
所以，故．
故选:B．
2．数列2，，9，，的一个通项公式可以是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项，结合排除法可得．
【详解】第一项为正数，BD中求出第一项均为负数，排除，
而AC均满足， A中，，排除A，C中满足，，，
故选：C．
3．设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案.
【详解】解：因为满足，令，
则，所以在上单调递减，
所以，即，所以.
所以.
故选：A
4．针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（    ）人
附表：

0.050
0.010

3.841
6.635

附：A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【分析】设男女生人数共有n人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，算出a，b，c，d的值，代入公式解得，然后根据有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有求解.
【详解】设男女生人数共有n人，则男生喜欢欢抖音的人数有，男生不喜欢欢抖音的人数有，
女生喜欢欢抖音的人数有，男生不喜欢欢抖音的人数有，
所以，
因为有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，
所以，
解得，
所以，
所以调查人数中男生可能有60人.
故选：C
【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
6．设，若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质即得.
【详解】∵，
∴，，，
∴.
故选：C.
7．已知双曲线C: ，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ）
A．(1，) B．(1，)
C．( ，) D．(1，)
【答案】B
【分析】求出其中一条渐近线方程，根据题意可得圆心到渐近线的距离小于半径，可得，即可求出离心率范围.
【详解】由题可知双曲线的其中一条渐近线为，即，
又该圆的圆心为，故圆心到渐近线的距离为，
则由题可得，即，
又，则，解得，即
则，又，
故离心率的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的取值范围，解题的关键是根据题意得出圆心到渐近线的距离小于半径，求出.
8．如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面 的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出异面直线与所成角的余弦值的最大值.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
，，，
设，因为，
所以，则
在侧面内取一点，使得，则
易知三角形为直角三角形，则

设，对称轴为，则
即
故选：C


二、多选题
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ）
A． B．
C．若复数为纯虚数，则 D．复数的虚部为
【答案】AD
【分析】由虚数的运算性质，可判定A正确；根据虚数不能比较大小，可判定B不正确；由时，可判定C不正确；根据复数的概念，可判定D正确.
【详解】对于A中，由虚数的运算性质，可得，所以A正确；
对于B中，根据虚数不能比较大小，所以B不正确；
对于C中，例如：当时，，此时，所以C不正确；
对于D中，根据复数的概念，可得复数的虚部为，所以D正确.
故选：AD.
10．清华大学全面推进学生职业发展指导工作．通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业工作，引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合，鼓励到祖国最需要的地方建功立业.2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人．学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据下图，下列说法正确的有（    ）

A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业
B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业
C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多
D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%
【答案】ABC
【分析】根据表中数据，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】由图可知，博士生有52.1%选择在北京就业，故A正确；
本科生和硕士生人数多，留京比例低，估算可知B正确；
到四川省就业的硕士毕业生人数约为，博士毕业生人数约为，故C正确；
浙江就业人数有人，因此占总人数比例为，
所以不能用本科生、硕士生、博士生毕业人数相加的方法计算，故D错误．
故选：ABC
11．设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由二次函数的性质与基本不等式求解即可
【详解】因为二次函数的值域为，
所以，所以，解得，
所以
，
由于，，当且仅当时取等号，
所以，
对于A：，故A 错误；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则，故C错误；
对于D：，
，故D正确；
故选：BD
12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．

对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，
所以 ，，，
设（），则
所以，
平面即
解之得
当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确
对于C，设平面的法向量
则，取
得
设平面 的法向量 ,
则
取 , 得 ,
平面平面
设 , 即 ,
解得 ，，不合题意
线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．
对于D，平面的法向量为
则
因为
所以
所以的最大值为．故D正确．
故选：ABD

三、填空题
13．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______．（用数字作答）
【答案】-192
【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出n，结合通项公式计算即可求出的系数.
【详解】由题意知，
二项式系数之和，
所以
所以，
所求的系数为.
故答案为：-192
14．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为________．
【答案】
【分析】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，根据二面角和勾股定理求得，求得球心和球半径，由此可求得球的表面积.
【详解】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，
因为是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
所以就是二面角的平面角，又二面角的大小为，所以，
又，，，
所以，所以，
所以点O就是三棱锥外接球的球心，其球半径为，
所以该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
15．已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
【答案】①②
【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
16．已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数的取值范围是________________.
【答案】
【分析】注意到，所以可设，进而得到，参变分离得，所以
【详解】设，则，故，
则，又因为，即，所以，，又因为恒成立，
即，因为，
参变分离得在上恒成立，
其中，
理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取得极小值，也是最小值，，从而得证.
故，故，实数a的取值范围为
故答案为：
【点睛】①含参不等式经常考虑参变分离的方法；
②熟悉常用结论：，；
③观察函数的形式，渗透同构的思想.

四、解答题
17．已知等差数列 满足：的前n项和为 ．
(1)求及 ；
(2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2).

【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可列出方程组，即可求得d，进而求得答案；
（2）利用裂项求和法求得数列的前n项和，说明，结合数列不等式恒成立可求得参数的范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题设可得： ，解得：，
∴ ， ；
（2）由（1）可得：，
∴

，
又恒成立，
∴，
即实数m的取值范围为[，+∞）．
18．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；
（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P








所以．
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
20．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.
【详解】（1）证明：由题知，
，
又，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在正中，为中点，于是，
又，平面，所以平面
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知，平面，且平面，
所以，又，
所以，平面
所以平面，于是两两垂直.
如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，
，所以，

.
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，于是.
设，
则.
由于直线与平面所成角的正弦值为，
，
即，整理得
，由于，所以
于是.
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为

【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.
（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.
【详解】（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
（2）设直线，
由得，
，，
又，
故

，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
22．已知函数（）．
(1)若a=1，讨论的单调性；
(2)若函数存在两个极小值点，，求实数a的取值范围；
(3)当时，设，求证：．
【答案】(1)单调递减；单调递增
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）代入求导，求的正负，判断单调区间；
（2）求，分类讨论和范围下的极小值点个数，从而得出a的取值范围；
（3）求的最小值，转化为证明，化简求导数证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，
所以，
设，则，故为上的增函数，
故，
当时，，函数在上为单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
（2）由已知，，
函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又当时，，
①当时，，此时当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以，无极大值；
②当时，，又在单调递增，
所以在上有唯一零点，且，
设，则当，故在上为减函数.
所以，所以，
所以，
又在单调递减，所以在上有唯一零点，且，
故当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以函数有两个极小值点．
故实数a的取值范围为．
（3）由已知，
即，其定义域为，所以，
当时，或，
因为，所以，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
所以．
所以要证，只需证，
即证，
令，
则，
记，则，
∴在单调递减，又，
故存在，使得，即，
∴，
记，在上单调递减，，
故只需证，即，
∵，∴在上单调递增，成立，
故原不等式成立．
【点睛】关键点点睛：（1）本题讨论极小值点个数，关键是将导数写成含有常见函数的形式，然后分析讨论的范围，得出极值点的个数；（2）用导数证明不等式，可以采用凹凸反转的方法，即将不等式拆分成两个函数，证明其中一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，或证明其中一个函数的最大值小于另一个函数的最小值；
（3）当求函数时，若零点不可求，可采用“隐零点”的方法，即借助于等式，表示参数，代入消参求出最值.