2022-2023学年湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

衡师祁东附中2022年下学期期中考试试卷

高一数学

一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出集合和的范围，直接求交集即可得解.

【详解】，

，

所以，

故选：B.

2. 设，则M与N的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D. 不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差比较法，得到，即可求解.

【详解】由，

则，

所以.

故选：A.

3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性逐一判断即可

【详解】对于A

是偶函数

故A错误

对于B

在上单调递增

故B错误

对于C

是奇函数且在上单调递减

故C正确

对于D

在上单调递减，在上单调递增

故D错误

故选：C

4. 不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式，可得不等式的解集为，再根据充分不必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】不等式的解集为，

又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件.

故选：C.

5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】抽象函数定义域的求解，需要遵循两个原则，第一是定义域是指的取值范围；第二是同一对应法则下，整体范围相同.

【详解】因为的定义域为，所以，解得或．又因为，解得，所以的定义域为．

故选：C

7. 已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得函数在上单调递减，，且，再利用函数单调性即得.

【详解】因为函数为偶函数且在上单调逆增，，

所以函数在上单调递减，，且，

所以，

所以，解得或，

即的取值范围是.

故选：A.

8. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，若曲线存在“优美点”，则实数k的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】存在，使，则函数图象上存在两点关于原点对称．因此只要把的图象关于原点对称后与射线有公共点即可．

【详解】由题意，若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点．

时，，把这部分图象关于原点对称，如图，所得图象的解析式为：(由得)，

只要射线：与的图象有公共点即可，图中射线与的图象相切，

由，得，，，由图象知，∴．

故选：A.

【点睛】本题考查新定义问题，考查创新意识．解题关键是问题的转化，题中新概念“优美点”，转化为函数图象上存在关于原点对称的点．再转化为的图象关于原点对称后与射线有公共点即可．

二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列命题为假命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用特值法和不等式的基本性质即可进行判断.

【详解】令,，,故A为假命题.

令，则，故B为假命题.

令,，，故C为假命题.

若，两边同乘以，则，故D为真命题.

故选：ABC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 命题“，”的否定是“，”

B. 幂函数为奇函数

C. 的单调减区间为

D. 函数的图象与y轴的交点至多有1个

【答案】ABD

【解析】

【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.

【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；

对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；

对于C项，由可知，C错误；

对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.

故选：ABD.

11. 已知定义在R上的函数是奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 函数的图像与x轴只有一个交点 D. 函数是增函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合奇函数的定义可求函数解析式，然后结合函数的性质及解析式分别检验各选项即可判断．

【详解】定义在上的函数是奇函数，，

当时，，

当时，，所以，也满足，

所以当时，，A正确，B错误；

由题意可知，显然为函数零点，当时，显然没有零点，根据奇函数对称性可知，当时，函数没有零点，所以函数的图像与x轴只有一个交点，C正确；

当时，单调递增，根据奇函数的对称性可知，时，函数单调递增，且在处连续，故在R上单调递增，D正确．

故选：ACD．

12. 下列结论中，正确的结论有．

A. 如果，那么取得最大值时的值为

B. 如果，，，那么的最小值为6

C. 函数的最小值为2

D. 如果，，且，那么的最小值为2

【答案】AB

【解析】

【分析】

A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；

B.将其配成代入即可得其最小值；

C. 函数，当且仅当此时无解

D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.

【详解】解：对于A. 如果，那么，当时取得最大值，故正确；

对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；

对于C. 函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；

对于D. 如果，，且，

那么

当且仅当即时取得最小值，故错误.

故选：AB

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数，则__________．

【答案】2

【解析】

【分析】利用分段函数的解析式，将代入即可求解.

【详解】由，则.

故答案为：.

14. 已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据集合的包含关系分类求解．

【详解】时，，

时，，由得，或，即或，

综上，的取值集合是．

故答案为：．

15. 已知（a，b是常数），且，则___________.

【答案】-21

【解析】

【分析】令并判断其奇偶性，再利用奇偶函数性质求解作答.

【详解】令，则，即是奇函数，

依题意，，而，则，又，

所以.

故答案为：

16. 已知不等式的解集为，则__________，的最小值为__________.

【答案】    ①.     ②. 8

【解析】

【分析】结合一元二次不等式、一元二次方程以及根与系数关系列方程，由此求得，，进而求得.利用基本不等式求得的最小值.

【详解】由题知，，，

则，，，

，

当且仅当，即时取等号.

故的最小值为8.

故答案为：；

【点睛】本小题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数，考查利用基本表达式求最值，属于中档题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设命题p：，命题q：.

（1）当a＝1时，若为假命题且q是真命题，则求实数x的取值范围；

（2）若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式求得命题，根据的真假性求得的取值范围.

（2）根据命题的否定、必要不充分条件的知识列不等式，由此求得的取值范围.

【小问1详解】

，，解得.

，解得，

当时，，

由于假真，所以.

【小问2详解】

¬p是¬q的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，

所以.

18. 已知函数．

（1）若函数在上单调，求实数a的取值范围；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数a的取值区间；

（2）由题得方程的两根分别为1、，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.

小问1详解】

函数的对称轴，依题意得或，

解得或，

所以实数的取值范围为.

【小问2详解】

由，得方程的两根分别为1、，

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

19. 已知二次函数满足，且0为函数的零点．

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析】（1）根据待定系数法列出方程求出系数得到解析式即可；

（2）分离参数可得恒成立，利用二次函数求最值即可.

【详解】（1）设，由题意可知，，

得到，即得到，又因为0是函数的零点，

即0是方程的根，即满足，得，又，

，

，

（2）当时，恒成立，

即恒成立；

令，

则．

20. 已知函数满足，且.

（1）求的解析式；

（2）求a的值，使在区间上的最小值为.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用配凑法直接即可求出函数的解析式；

（2）根据（1）得到，然后通过分，，三种情况进行讨论即可求出答案.

【小问1详解】

因为，

所以.

【小问2详解】

由（1）可得，，其对称轴为，

当，即时，在区间上是增函数，.

即，解得，又因为，所以不满足题意；

当时，在区间上先减后增，所以，

即，解得或；

当，即时，在区间上是减函数，所以，

即，解得，又因为，所以不满足题意.

综合上述，a的值为或.

21. 已知函数是奇函数，是偶函数.

（1）求.

（2）判断函数在上的单调性并说明理由，再求函数在上的最值.

（3）若函数满足不等式，求出t的范围.

【答案】（1）   

（2）是区间上的增函数，理由见解析，   

（3）

【解析】

【分析】（1）由函数的奇偶性定义以及性质求解即可；

（2）利用定义证明单调性，进而得出最值；

（3）由在区间上的单调性以及奇偶性，解不等式得出t的范围.

【小问1详解】

因为在是奇函数

验证：，，函数为奇函数；

为偶函数，则

验证：，，函数为偶函数.

【小问2详解】

是区间上的增函数，理由如下：

设区间上任意两个实数，且，

则

因为所以

是区间上的增函数

【小问3详解】

因为是区间上的增函数，且是奇函数，

由满足

，即t的范围是

22. 1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

【答案】（1）当时血液中药物的浓度最高，最大值为6   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；

（2）讨论和两种情况，

【小问1详解】

当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为

①当时，．

②当时，因为（当且仅当时，等号成立），

所以．

故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．

【小问2详解】

由题意得

①当时，，

设，则，，则，故；

②当时，，

由，得，

令，则，，则，故．

综上，．