2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高二上学期期中数学试题B（解析版）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高二上学期期中数学试题B

一、单选题

1．直线的倾斜角为（   ）

A．45° B．30° C．60° D．120°

【答案】C

【分析】首先通过直线方程求出直线斜率，进而求出直线倾斜角.

【详解】已知直线的斜率为，

由于直线倾斜角的取值范围是，故该直线的倾斜角为60°.

故选：C.

2．若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ）

A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合

【答案】A

【分析】由倾斜角可得直线的斜率，由斜率公式可得直线的斜率，可判断垂直关系.

【详解】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与垂直

故选：A

3．两条平行直线与之间的距离（    ）

A． B． C． D．7

【答案】C

【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】由已知两条直线平行，得，所以，

所以直线可化为，

则两平行线间的距离.

故选：C

4．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】结合向量夹角，先求解， 再求解.

【详解】．

故选：C.

5．若圆与圆外切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，圆与圆

可得，，

因为两圆相外切，可得，解得．

故选：C.

6．方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意可知，方程表示的圆的圆心在直线上，即可解出．

【详解】因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有．

故选：A．

7．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由四点共面的充要可得，求解即可.

【详解】O是平面外任意一点，且，

若A，B，C，M四点共面的充要条件是，即.

故选：B.

8．关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于的奇数都是三个素数之和，如，.若从中任取个不同的素数组成点，其中，且组成的所有点都在圆上，则圆的标准方程为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据所有可能的结果，利用向量垂直的坐标表示可证得，由此可得圆心为中点，并求得半径，由圆心和半径可得圆的标准方程.

【详解】由题意知：所有可能的结果为：，，，

，，，则，

圆的圆心为中点，半径，

圆的标准方程为：.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

C．过、两点的所有直线的方程为

D．若两直线与平行，则

【答案】ABC

【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用直线的截距式方程可判断B选项的正误；利用直线的两点式方程可判断C选项的正误；利用两直线平行求实数的值，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或.

因为，所以，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错；

对于B选项，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，B错；

对于C选项，当或，方程无意义，C错；

对于D选项，若直线与平行，

则，整理可得，解得或.

当时，，，两直线重合，不合乎题意；

当时，，，两直线平行，合乎题意，D对.

故选：ABC.

10．以下说法正确的是（    ）

A．若向量可是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.

B．空间的任意两个向量都是共面向量.

C．若两条不同直线，的方向向量分别是，，则.

D．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则

【答案】ABC

【分析】根据基底的定义判断AB；根据方向向量以及法向量的性质判断CD.

【详解】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，则也是空间的一个基底，故A正确；

对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，故B正确；

对于C，由方向向量的性质得出，故C正确；

对于D，因为，所以，故D错误；

故选：ABC

11．过点做圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．

【详解】根据题意知圆的圆心为，半径，

若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；

若切线的斜率存在，设切线方程为，即，

则有，解可得，所以切线方程为，

综上可知，切线方程为或.

故选：BC．

12．（多选题）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．该三棱柱的外接球的表面积为

C．异面直线与所成角的正切值为

D．二面角的余弦值为

【答案】AD

【分析】对于A，欲证平面，只需证明，由易证，故A项正确；

对于B，由、、三条直线两两垂直，可知直三棱柱是一个长方体沿对角面切开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱的外接球的表面积易求，然后再判断.

对于C，由于，异面直线与所成角为，在中，的正切值易求，然后判断.

对于D，由、、三条直线两两垂直，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和平面的法向量的夹角，然后再判断即可.

【详解】解：在直三棱柱中，四边形是矩形，

因为，所以，不在平面内，平面，

所以平面，A项正确；

因为，所以，

因为，所以，所以，

易知是三棱柱外接球的直径，

所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；

因为，所以异面直线与所成角为．

在中，，，

所以，所以C项错误；

二面角即二面角，

以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图

则，

，，，

设平面的法向量，

则，即，令可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，令可得

故二面角的余弦值为，所以D项正确．

故选：AD.

【点睛】综合考查直三棱柱中线线角、线面角的求法，线面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面积的求法，中档题.

三、填空题

13．已知一直线经过点和点，则这条直线的方程为________．

【答案】

【分析】根据两点式求得直线方程.

【详解】由于直线经过和点，

所以直线方程为，

整理得.

故答案为：

14．已知和，线段AB的中点M，则点M的坐标________．

【答案】

【分析】根据中点公式计算即可.

【详解】根据中点公式得： ；

故答案为： .

15．两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为____

【答案】##

【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可．

【详解】解：两平面的法向量分别为，，

设两平面的夹角为，

所以，即，因为，

所以，即两平面的夹角为．

故答案为：．

16．直线过点，在轴上的截距取值范围是，其斜率取值范围是______．

【答案】

【分析】根据直线过点，直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率,即可得到结果.

【详解】

因为直线过点,在x轴上的截距取值范围是,

所以直线端点的斜率分别为: ,,如图:

由图可得或.

即斜率取值范围是

故答案为.

【点睛】本题考查直线斜率公式的应用,考查了数形结合思想,考查计算能力，属于中档题.

四、解答题

17．如图所示，在平行六面体中，设，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；

（3）根据空间向量的线性表示，用和分别表示出和，再进行求和即可.

【详解】解：（1）∵是的中点，

∴.

（2）∵是的中点，

∴.

（3）∵是的中点，

∴，

又，

∴.

【点睛】本题考查空间向量的线性运算的应用，涉及向量的加法运算，属于基础题.

18．已知的顶点.

(1)求边的中垂线所在直线的方程；

(2)求的面积.

【答案】(1)；

(2)14.

【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式写出所求方程；

（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即可.

【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，

又的中点为，

边的中垂线所在直线的方程为：，即；

（2）直线的方程为：，即，

点到直线的距离，

，

故的面积为.

19．如图在棱长为2的正方体中，点E是AD的中点，求：

(1)异面直线和所成的角的余弦值

(2)点到平面的距离

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，

则，，所以，

所以异面直线和所成的角的余弦值为.

（2）解：因为，，，

设平面的法向量为，

所以，即，令，则，

所以点到平面的距离.

20．已知圆，直线.

(1)求证：直线恒过定点；

(2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.

【答案】(1)证明见解析

(2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为

【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解.

【详解】（1）直线的方程可化为

联立，解得

故直线恒过定点

（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长

设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短

则直线的斜率为

由得直线的斜率为，解得

此时的方程为，即

圆心到直线的距离为

∴最短弦长

故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为

21．已知圆C：，直线l过定点．

（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

【答案】（1）或

【分析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；

（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.

【详解】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.  

 ②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 .  所求直线l1的方程是或.

(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，

则圆心到直线l1的距离  

又∵△CPQ的面积  

                 ＝

∴当d＝时，S取得最大值2.    

∴＝       ∴ k＝1 或k＝7

所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

22．如图，三棱锥中，平面ABC，，．D，E分别为线段AB，BC上的点，且，．

(1)证明：平面PCD；

(2)求平面APD与平面PDC的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）易证，根据边长可得△CDE为等腰直角三角形，；

（2）先通过几何关系求解出AC，BC的长，因为AC，BC，PC两两垂直，分别以，，的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，根据向量关系求解即可.

【详解】（1）证明：由平面ABC，平面ABC，故

由，得，，

则△CDE为等腰直角三角形，故

由，平面PCD，平面PCD，故平面PCD.

（2）

由（1）知，△CDE为等腰直角三角形，，如图，过点D作DF垂直CE于F，易知，又已知，故．

由，得，，故．

以C为坐标原点，分别以，，的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，

设平面PAD的法向量，

由，，

得故可取．

由（1）可知平面PCD，故即为平面PCD的一个法向量，．

则，

故平面APD与平面PDC的夹角的余弦值为．